高等数学 思维导图（公式已转 LaTeX，KaTeX 渲染）
高等数学
函数 极限 连续
第一节 函数
函数
函数的定义
函数、自变量、因变量、定义域、值域
- 设 $x,y$ 为变量，$D$ 为给定数集，若 $\forall x\in D$ 按对应法则有唯一确定的 $y$ 与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记 $y=f(x)$
- $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量
- $D$ 称为函数的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=D$
- 函数值 $f(x)$ 的全体称为函数 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$
同一函数
- 函数概念有两个基本要素：定义域与对应法则（依赖关系）
- 当两个函数的定义域与对应法则完全相同时，它们就是同一函数
- 与自变量、因变量所用字母的记号无关
函数举例
符号函数
- 符号函数 $\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x<0.\end{cases}$
- 值域为 $\{-1,0,1\}$，且 $|x|=\operatorname{sgn}x\cdot x$
取整函数
- $x-1<[x]\le x<[x]+1$
- $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数
复合函数
- 设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，$u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$、值域为 $R_g$
- 若 $D_f\cap R_g\ne\varnothing$，则称 $y=f(g(x))$ 为 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数
- 复合函数的定义域为 $\{x\mid x\in D_g,\ g(x)\in D_f\}$
- 不是任何两个函数都能复合，需 $D_f\cap R_g\ne\varnothing$
反函数
反函数的定义
- 设 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$、值域为 $R$
- 若 $\forall y\in R$，有唯一确定的 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，则得反函数 $x=f^{-1}(y)$，习惯记作 $y=f^{-1}(x)$
- 反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的定义域为 $R$，值域为 $D$
反函数的性质
- 单调函数一定有反函数
- $y=f(x)$与$x=f^{-1}(y)$图像重合，$y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$图像关于$y=x$对称
- $f^{-1}(f(x))=x$，$f(f^{-1}(x))=x$
初等函数
基本初等函数
幂函数
- 幂函数 $y=x^{\mu}$（$\mu$ 为实数）
- 定义域随 $\mu$ 的取值而定，为使 $x^{\mu}$ 有意义的 $x$ 的集合
- 如 $\mu$ 为正整数时定义域为 $\mathbb{R}$；$y=\sqrt{x}=x^{1/2}$ 的定义域为 $[0,+\infty)$
指数函数
- 指数函数 $y=a^{x}\ (a>0,\ a\ne1)$
- 定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,+\infty)$，恒过点 $(0,1)$
- $a>1$ 时单调增加；$0<a<1$ 时单调减少
对数函数
- 对数函数 $y=\log_a x\ (a>0,\ a\ne1)$
- 定义域为 $(0,+\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$，恒过点 $(1,0)$
- $a>1$ 时单调增加；$0<a<1$ 时单调减少
三角函数
正弦余弦
- $y=\sin x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1,1]$，奇函数，最小正周期 $2\pi$，有界
- $y=\cos x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1,1]$，偶函数，最小正周期 $2\pi$，有界
正切余切
- $y=\tan x$：定义域 $x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$，奇函数，最小正周期 $\pi$，无界
- $y=\cot x$：定义域 $x\ne k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$，奇函数，最小正周期 $\pi$，无界
正割函数与余割函数
- $y=\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$（正割函数）：定义域 $x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$，值域 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，偶函数，最小正周期 $2\pi$
- $y=\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$（余割函数）：定义域 $x\ne k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$，值域 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，奇函数，最小正周期 $2\pi$
反三角函数
反正弦反余弦
- $y=\arcsin x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，单调增加，奇函数，有界
- $y=\arccos x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $[0,\pi]$，单调减少，非奇非偶，有界
反正切
- $y=\arctan x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，单调增加，奇函数，有界
- 它是 $y=\tan x\ (x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$ 的反函数，且 $\tan(\arctan x)=x\ (x\in\mathbb{R})$
初等函数的定义
- 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合、且可用一个式子表示的函数称为初等函数
函数性质
单调性
单调性的判定
单调性的定义
- 设 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上，若对 $I$ 上任意 $x_1<x_2$ 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调增加
- 若恒有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调减少
- 若恒有 $f(x_1)\le f(x_2)$（或 $f(x_1)\ge f(x_2)$），则称单调不减（或单调不增）
利用导数判定单调性
- $f'(x)>0\ (<0)\Rightarrow f(x)$单调增加（减小）
- $f'(x)\ge0\ (\le0)\Leftrightarrow f(x)$单调不减（不增）
单调性的常用结论
导函数的介值性
- $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，$f'(a)\ne f'(b)$，则对介于 $f'(a)$、$f'(b)$ 之间的任意 $\mu$，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=\mu$
- 推论：$f$ 在区间可导且 $f'(x)\ne0$，则 $f'(x)$ 在该区间恒正或恒负
奇偶性
奇偶性的判定
奇偶性的定义
- 定义域 $D$ 关于原点对称
- 若 $\forall x\in D$ 恒有 $f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数，其图形关于原点对称，且若 $0\in D$ 则 $f(0)=0$
- 若 $\forall x\in D$ 恒有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数，其图形关于 $y$ 轴对称
- $f(x)$是奇函数$\Rightarrow f'(x)$是偶函数
- $f(x)$是偶函数$\Rightarrow f'(x)$是奇函数
- 连续奇函数的原函数是偶函数
- $f(x)$是奇（偶）函数，$f(x)$在$0\sim x$的积分是偶（奇）函数
- 连续偶函数的原函数有且只有一个奇函数
奇偶性的常用结论
常见偶函数
常见奇函数
- $\ln((1-x)/(1+x))$，$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，$(e^x-1)/(e^x+1)$，$f(x)-f(-x)$
- 两个奇（偶）函数的和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积必为偶函数；奇函数与偶函数的积为奇函数
- 奇函数在$x=0$有定义，则$f(x)=0$
周期性
周期性的判定
周期性的定义
- 若存在 $T>0$，对定义域内每个 $x$ 恒有 $f(x+T)=f(x)$
- 则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为 $f(x)$ 的一个周期
- 使上式成立的最小正数 $T$ 称为最小正周期，简称 $f(x)$ 的周期
- 可导周期函数的导函数为周期函数
- 周期函数的原函数不一定是周期函数
- 周期函数的原函数是周期函数$\Leftrightarrow$一个周期上的积分为零
周期性的常用结论
- 若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$T/|a|$为周期
- $\sin x$、$\cos x$以$2\pi$为周期，$\sin 2x$、$|\sin x|$以$\pi$为周期
有界性
有界性的判定
有界性的定义
- 若存在 $M>0$，使 $\forall x\in I$ 都有 $|f(x)|\le M$
- 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界；否则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界
- 闭区间$[a,b]$连续$\Rightarrow$有界
开区间$(a,b)$连续且$f(a^+)$、$f(b^-)$存在$\Rightarrow$有界
- $f'(x)$在有限区间内有界$\Rightarrow f(x)$在该区间有界
常见有界函数
- $|\sin x|\le 1,\quad |\cos x|\le 1$
- $|\arcsin x|\le \dfrac{\pi}{2},\quad |\arctan x|<\dfrac{\pi}{2},\quad |\arccos x|\le \pi$
题型一 复合函数（例1-3）
- 已知 $f(g(x))$ 的定义域求 $f(x)$：由内层 $g(x)$ 的取值范围的端点反推 $f$ 的定义域（内层值域即外层定义域）
- 已知 $f(x)$ 与 $f(g(x))$ 求 $g(x)$：由 $f(g(x))$ 的表达式解出 $g(x)$，再由约束条件确定定义域
- 求 $f(g(x))$ 时按内层 $g(x)$ 的取值范围分段，代入选出 $f$ 的对应分段表达式
- 分段函数的复合要逐段讨论，注意分段点归属及端点是否取到
- 复合后的定义域需同时满足内层有意义和外层有定义的区间
题型二 函数性态（例1-4）
判定有界性
- 函数在开区间连续且两端极限 $\lim_{x\to a^+}f(x)$、$\lim_{x\to b^-}f(x)$ 都存在，则在区间内有界
- 闭区间上连续函数必有界（有界性、最值性）；无限区间上还需两端极限存在才有界
- 命题真假判断用直接法或排除法（构造反例）
- 若 $f'(x)$ 在有限区间内有界，则 $f(x)$ 在该区间有界
- 由 $f'(x_0)>0$ 得 $x_0$ 右侧 $f(x)>f(x_0)$、左侧 $f(x)<f(x_0)$（用导数定义与极限保号性）
导函数介值性
- $f(x)$ 在区间可导且 $f'(x)\ne0$，则 $f'(x)$ 在该区间恒正或恒负
- 变限积分 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 的奇偶性、单调性由被积函数 $f$ 的性质决定
第二节 极限
数列极限
数列极限的概念
- $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$：$\forall\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时恒有 $|x_n-a|<\varepsilon$
几何意义
- 对 $a$ 的任何 $\varepsilon$ 邻域 $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$，数列自某项以后的点都落在其中
- 即邻域外至多只有有限个（最多 $N$ 个）点
- 数列极限是否存在、等于多少，与数列的前有限项无关
数列极限的常用结论
- $a<A<b$，存在$n>N$时，$a<a_n<b$，即只有有限项落在$(a,b)$外
- 数列有极限$A$ $\Leftrightarrow$ 偶数项数列和奇数项数列都有极限$A$
函数极限
各种极限过程的定义
- $x\to x_0$：$A$ 为极限 $\Leftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$
- $x\to x_0^+$：当 $0<x-x_0<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$（右极限）
- $x\to x_0^-$：当 $-\delta<x-x_0<0$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$（左极限）
- $x\to\infty$：$\forall\varepsilon>0,\exists X>0$，当 $|x|>X$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$
- $x\to+\infty$：当 $x>X$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$；$x\to-\infty$：当 $x<-X$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$
函数极限的常用结论
- $x\to x_0$时极限是否存在和$x=x_0$时的值无关
- $x\to\infty$极限存在$\Leftrightarrow x\to-\infty$和$x\to+\infty$极限存在且相等
- $x\to x_0$极限存在$\Leftrightarrow x\to x_0^+$和$x\to x_0^-$极限存在且相等
常见区分左右极限的问题
- 分段函数在分界点，包括绝对值函数
- $e^\infty$型$(e^{1/x},e^x,e^{-x})$
- $\arctan\infty$型$(\arctan(1/x),\arctan x)$
极限的性质
有界性
局部有界性（函数）
- 若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 某去心邻域内有界
有界性（数列）
- 若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 存在，则数列 $\{x_n\}$ 有界
保号性
- 数列极限$A>0\Rightarrow x_n>0$；$x_n\ge0\Rightarrow A\ge0$ （$n>N$）
- 函数极限$A>0\Rightarrow f(x)>0$；$f(x)\ge0\Rightarrow A\ge0$ （去心邻域）
- $f(x)=A,g(x)=B$，则$A>B\Rightarrow f(x)>g(x)$；$f(x)\ge g(x)\Rightarrow A\ge B$（去心邻域）
极限值和无穷小关系
- $\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha$
极限的唯一性
- 若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则其极限值唯一
- 若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 存在，则其极限值唯一
极限存在准则
无穷小量
无穷小量的概念
- 若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$（或 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$），则称 $f(x)$（或数列 $\{x_n\}$）为无穷小量
- 无穷小量是极限为零的变量，不能把它与很小的数混淆
- 常数中只有 $0$ 可看作无穷小量
无穷小的比较
高阶，低阶，同阶，等价，无穷小的阶
- 设 $\lim\alpha(x)=0$，$\lim\beta(x)=0$
高阶
- 若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记 $\beta=o(\alpha)$
同阶
- 若 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=C\ (C\ne0)$，特别当 $C=1$ 时称 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价，记 $\alpha\sim\beta$
$k$ 阶
- 若 $\lim\frac{\beta}{\alpha^{k}}=C\ (C\ne0)$，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
无穷小量的性质
- 有限个无穷小量的和仍是无穷小量
- 有限个无穷小量的积仍是无穷小量
- 无穷小量与有界量的积仍是无穷小量
无穷大量
无穷大量的概念
- 若 $\forall M>0$，存在 $\delta>0$（或正整数 $N$），当 $0<|x-x_0|<\delta$（或 $n>N$）时，恒有 $|f(x)|>M$（或 $|x_n|>M$）
- 则称 $f(x)$（或数列 $\{x_n\}$）为无穷大量，记 $\lim f(x)=\infty$（或 $\lim x_n=\infty$）
- 无穷大量是变量，不是数
无穷大量的比阶
- $x\to+\infty$，对数$\ll$幂$\ll$指数
- $n\to\infty$，对数$\ll$幂$\ll$指数$\ll$阶乘$\ll$幂指
无穷大量的性质
- 两个无穷大量的积仍是无穷大量
- 无穷大量与有界变量的和仍是无穷大量
和无界变量关系
和无穷小关系
- 无穷大量的倒数是无穷小量
- 不等于0的无穷小量的倒数是无穷大量
求极限
基本极限
- $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e,\quad \lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e,\quad \lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a,$
- $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1,\quad \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0)$
- $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\begin{cases}\frac{a_n}{b_m},&n=m,\\0,&n<m,\\\infty,&n>m.\end{cases}$
- $\lim\limits_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0,&|x|<1,\\\infty,&|x|>1,\\1,&x=1,\\\text{不存在},&x=-1.\end{cases}\qquad \lim\limits_{n\to\infty}e^{nx}=\begin{cases}0,&x<0,\\+\infty,&x>0,\\1,&x=0.\end{cases}$
1的无穷次方型
- $\alpha\to0,\beta\to\infty$，则$\lim(1+\alpha)^\beta=e^{\lim\alpha\beta}$
等价无穷小
- $x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1,$
- $(1+x)^a-1\sim ax(a\neq0),\quad 1-\cos x\sim\frac12x^2,\quad a^x-1\sim x\ln a,$
- $x-\sin x\sim\frac16x^3,\quad \tan x-x\sim\frac13x^3,\quad x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2,$
- $\arcsin x-x\sim\frac16x^3,\quad x-\arctan x\sim\frac13x^3$
- $[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x)$（当$\alpha\to0$且$\alpha\beta\to0$）
等价无穷小代换的常用结论
- 变上限积分被积函数如果连续，可以用等价无穷小或值相同的连续函数替换
- 乘除可以换，加减在一定条件下可以换（换过之后运算不为0）
有理运算
- $\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$
- $\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=AB$
- $\lim\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)$
有理运算的注意事项
- 极限非零的因子的极限可以先求出来
- 若 $\lim\frac{f}{g}$ 存在且 $\lim g=0$，则 $\lim f=0$
- 若 $\lim\frac{f}{g}\ne0$ 且 $\lim f=0$，则 $\lim g=0$
- 存在$\pm$不存在$=$不存在，不存在$\pm$不存在$=$不一定
- 存在$\times(\div)$不存在$=$不一定，不存在$\times(\div)$不存在$=$不一定
洛必达法则
条件
- $f,g$极限$=0$或$\infty$；$f,g$在$x_0$某去心邻域可导，且$g'(x)\ne0$；$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$
适用七种
- $0/0$，$\infty/\infty$（可以只分母为$\infty$），$\infty-\infty$，$0\times\infty$，$1^\infty$，$\infty^0$，$0^0$
洛必达法则的注意事项
- 使用前先检验条件是否满足
- 函数含有非零因子可以单独求极限
抽象函数使用条件
- n阶可导，可以导到n-1阶
- n阶连续可导，可以导到n阶
泰勒公式
带皮亚诺余项的泰勒公式
- $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$
- 特别是当 $x_0=0$ 时
- $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$
- 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，则
- （1）$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$
- （2）$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1}).$
- （3）$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}).$
- （4）$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n).$
- （5）$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n).$
- 展开到最低次幂
夹逼准则
- $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_i\}\ (a_i>0)$
单调有界
- 先证数列单调有界，由单调有界准则知 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 存在
- 设 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$，对递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两边令 $n\to\infty$ 得 $A=f(A)$
- 解此方程求出 $A$，并根据题意舍去不合题意的根
定积分定义
拉格朗日中值定理
题型一 极限的概念、性质及存在准则（例1-6）
- 选择题多用直接法（套用基本结论）与排除法（举反例）
- $\lim a_n=a\Rightarrow\lim|a_n|=|a|$，反之不成立；$\lim a_n=0\Leftrightarrow\lim|a_n|=0$
保号性
- $\lim a_n=a>0$，则 $n$ 充分大时 $a_n>a/2$；可由极限符号判断局部符号
- 无穷小乘有界量为无穷小；$0\cdot\infty$ 型不能直接判定
- $\{S_n\}$ 单调增加，$\{S_n\}$ 有界是 $\{a_n\}$ 收敛的充分非必要条件
比值判别
- 若 $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ 且 $|a|<1$，则 $\lim a_n=0$（用于含阶乘、幂的数列）
单调有界准则证收敛
- 先证单调、有界；常借拉格朗日中值定理建立 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的关系
题型二 求极限
- $\frac{0}{0}$ 型：用洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式；先化简（非零因子先求极限、有理化、变量代换）
等价无穷小代换原则
- 乘除可直接换；加减须满足 $\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\ne1$（差）或 $\ne-1$（和）才可换
- $1^\infty$ 型三步法：写标准型 $\lim(1+\alpha)^\beta$，求 $\lim\alpha\beta=A$，结果 $e^A$
- $\infty^0$、$0^0$ 型：改写为指数形式 $e^{\beta\ln f}$，化为 $0\cdot\infty$ 型
- $\frac{\infty}{\infty}$ 型分子分母同除最高阶无穷大；$\infty-\infty$ 型通分或有理化后等价代换/泰勒
- 求 $n$ 项和的极限：变化部分相对主体为次量级用夹逼准则，同量级用定积分定义（提可爱因子 $\frac1n$）
- $n$ 项连乘取对数化为 $n$ 项和；递推数列用单调有界准则，先证收敛再对 $A=f(A)$ 求解
- 数列极限不能直接用洛必达法则，需先改写成函数极限；常用结论 $\lim\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_i\}$
零比零型
常用方法
原式化简
根式差
指数差
变上限积分
- 被积函数等价无穷小、洛必达、积分中值（上下限是等价无穷小）
- 注意被积函数是否含有x
无穷比无穷型
无穷减无穷型
通分化为0/0（适用于分式差）
- 根式有理化（适用于根式差）
- 提无穷因子，然后等价代换或变量代换，泰勒公式
题型三 确定极限式中的参数（例1-4）
- 由极限存在且为有限非零值，用洛必达或等价代换建立等式，比较同次幂系数定参
- 分母趋于零而极限存在（有限）时分子必趋于零，据此定参（否则极限为 $\infty$，与题设矛盾）
- $\sqrt{\cdot}+ax+b$ 型：先有理化或同除最高次幂、等价代换，先定 $a$ 再定 $b$
- 含最高次项时由分子分母最高次幂（或次数关系）确定参数
- 数列型由通项 $n$ 的最高次幂比较确定参数
逐次定参
题型四 无穷小量阶的比较（例1-6）
- 比较无穷小阶即求 $\lim\frac{\alpha}{\beta}$：用洛必达法则（求导定阶）、等价无穷小代换或泰勒公式
求导定阶
- 对变限积分 $\int_0^{\varphi(x)}f(t)\,dt$ 求导可降阶，据此判断阶数
变限积分等价代换
- 若 $f\sim g$，则 $\int_0^xf\sim\int_0^xg$；由 $\lim\frac{\int_0^xf(t)dt}{x^k}=a\ne0$ 定阶 $k$
泰勒公式
- 偶函数在 $x=0$ 的泰勒展开只含偶次项，故其无穷小阶数只能是偶数
数列型
- 由 $\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=a$ 与 $1$ 的关系判断阶，并证 $\lim x_n=0$
估值法
洛必达
- $f'(x)$是$x$的$k$阶，则$f(x)$是$k+1$阶
- 等价无穷小
- 泰勒
具体题目
- 按阶排序
两两比较
- 变上限积分阶数等于n（m+1），n是上限阶数，m是被积函数阶数
- 高阶+低阶=低阶
- 奇函数只能和奇次项等价：偶函数只能和偶次项等价
- 数列极限阶的比较可以用前项比后项是否小于1
- 找最高（低）阶
第三节 连续
连续的定义
连续的两种定义
定义一
- 若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续
定义二（增量形式）
- 令 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，若 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续
- $\varepsilon\text{-}\delta$ 形式：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
左连续、右连续
- 在$x_0$连续$\Leftrightarrow$在$x_0$左连续且右连续
开区间内连续、闭区间上连续
- 若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续
- 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续、在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
间断点
间断点的定义
- 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义
- 但在 $x_0$ 处不连续，则称点 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点
间断点的分类
第一类间断点
- 左右极限都存在
可去间断点、跳跃间断点
可去间断点
- 左、右极限存在且相等（但该极限 $\ne f(x_0)$ 或 $x_0$ 处无定义）
跳跃间断点
- 二者合称第一类间断点，即左、右极限均存在的间断点
第二类间断点
- 左右极限至少有一个不存在
无穷间断点、振荡间断点
无穷间断点
- 左、右极限中至少有一个为无穷（如 $x=0$ 为 $f(x)=\frac1x$ 的无穷间断点）
振荡间断点
- 极限不存在但不趋于无穷（如 $x=0$ 为 $f(x)=\sin\frac1x$ 的振荡间断点）
- 二者合称第二类间断点，即左、右极限中至少有一个不存在的间断点
连续函数的运算与初等函数的连续性
- 在$x_0$连续的两个函数的和、差、积、商（分母不为$0$）也在$x_0$连续
- $g(x)$在$x_0$连续，$g(x_0)=u_0$，$f(u)$在$u_0$连续，则$f(g(x))$在$x$连续
- 基本初等函数在定义域内都是连续的
- 初等函数在定义区间内都是连续的
闭区间连续函数的性质
最值定理
- 若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
- 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取到最大值与最小值
有界性定理
- 若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
- 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
介值定理
- 若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\ne f(b)$
- 则对介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任一数 $C$，至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=C$
推论
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 可取到介于最小值 $m$ 与最大值 $M$ 之间的任何值
零点定理
- 若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$
- 则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$
题型一 讨论连续性及间断点类型（例1-6）
- 先找出无定义点、分段点及使分母为零的点作为候选间断点
- 求各候选点的左、右极限，按是否存在及是否相等分类为可去、跳跃、无穷、振荡间断点
- 含 $e^{1/x}$、$\arctan\frac1x$ 的极限须分左右讨论，两端极限往往不同
- 连续条件（如分母 $a+e^{b/x}\ne0$）配合已知极限确定参数范围
- 证明“必有间断点”类命题用反证法：连续函数的复合、和差积仍连续
- 幂指函数求极限先取对数，再确定其间断点
- 偶函数的间断点关于原点对称（对称点处类型相同）
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题
- 证“存在 $\xi$ 使 $f(\xi)=$ 某值”，常构造辅助函数 $F(x)$ 用零点定理
- 取 $c=\min\{x_i\}$、$d=\max\{x_i\}$，把点集放入闭区间 $[c,d]$ 上用最值、介值定理
- 计算 $F$ 在端点或若干点的函数值，异号时直接用零点定理
- 端点同号或不易定号时用反证法：由连续性 $F$ 恒正或恒负，导出矛盾
- 最值定理与介值定理组合：$m\le\sqrt[n]{f(x_1)\cdots f(x_n)}\le M$
- 无穷区间上由两端极限的符号构造 $F(\pm a)$ 异号，再用零点定理
一元函数微分学
第一节 导数与微分
导数
导数的两种定义
定义1（增量形式）
- $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
定义2（两点形式）
- $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
- 若上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导
- 导数记为$f'(x_0)$或$y'|_{x=x_0}$、$\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}$
左导数、右导数
- 在$x_0$可导$\Leftrightarrow$在$x_0$左导数和右导数存在且相等
在开区间上可导、在闭区间上可导、导函数
- 在开区间$(a,b)$内每一点都可导，称$f(x)$在$(a,b)$内可导
- 在闭区间$[a,b]$上可导：在$(a,b)$内可导，且在$a$处右导数$f'_+(a)$、在$b$处左导数$f'_-(b)$均存在
- 对区间内每一点$x$，其导数$f'(x)$构成的函数称为导函数，记$f'(x)$、$y'$或$\dfrac{dy}{dx}$
微分
微分的定义
- 若$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中$A$为不依赖于$\Delta x$的常数，则称$f(x)$在点$x_0$处可微
- 称$A\Delta x$为$f(x)$在点$x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记$dy=A\Delta x$
- 可微与可导等价，且$A=f'(x_0)$，故$dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx$
可微与可导的关系
- 且有$y=f'(x)\Delta x=f'(x)dx$
- $y=f(x)$在$x_0$可微$\Leftrightarrow y=f(x)$在$x_0$可导
几何意义
导数的几何意义
- 切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$
- 法线方程 $y-f(x_0)=-1/f'(x_0)(x-x_0)$
- 有切线不一定可导，切线为$x=x_0$
- 导数在几何上表示曲线在$(x_0,f(x_0))$点处切线的斜率
微分的几何意义
- $\Delta y\approx dy$
- 微分在几何上表示曲线的切线上的增量
连续、可导、可微关系
- 可微$\Rightarrow$可导、连续
- 可导$\Rightarrow$可微、连续
- 连续不一定可导可微
求导
基本初等函数导数公式
- （1）$(C)'=0;$ （2）$(x^a)'=ax^{a-1};$
- （3）$(a^x)'=a^x\ln a;$ （4）$(e^x)'=e^x;$
- （5）$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a};$ （6）$(\ln|x|)'=\frac1x;$
- （7）$(\sin x)'=\cos x;$ （8）$(\cos x)'=-\sin x;$
- （9）$(\tan x)'=\sec^2x;$ （10）$(\cot x)'=-\csc^2x;$
- （11）$(\sec x)'=\sec x\tan x;$ （12）$(\csc x)'=-\csc x\cot x;$
- （13）$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};$ （14）$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};$
- （15）$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2};$ （16）$(\text{arccot}\,x)'=-\frac{1}{1+x^2}.$
有理运算法则
- （1）$(u\pm v)'=u'\pm v'$
- （2）$(uv)'=u'v+uv'$
- （3）$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ $(v\neq 0)$
复合函数求导
- $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\varphi'(x)$
隐函数求导
- 直接对F（x，y）=0求导
- $\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}$
反函数求导
- $\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，即$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
反函数求导的条件
- 若 $y=\varphi(x)$ 在某区间内单调、可导，且 $\varphi'(x)\neq 0$，则其反函数 $x=f(y)$ 在对应区间内也可导
参数方程求导
一阶导数
- $\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$
- 都可导，且$\varphi'(t)\ne0$
二阶导数
- $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\varphi''(t)\psi'(t)}{\varphi'^3(t)}$
- 都二阶可导，且$\varphi'(t)\ne0$
极坐标化为参数方程
- 极坐标方程$\rho=\rho(\theta)$以$\theta$为参数，化为参数方程$x=\rho(\theta)\cos\theta,\ y=\rho(\theta)\sin\theta$
- 再按参数方程求导公式求$\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$
对数求导法
- 表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数形式
- 奇函数的导函数是偶函数
- 偶函数的导函数是奇函数
- 周期函数的导函数是周期函数
高阶导数
二阶导数与 $n$ 阶导数
二阶导数
- $y''=(y')'$，即对一阶导数再求导，$f''(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x}$
$n$阶导数
- $f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'$
$n$阶导数定义式
- $f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$
- 注意，$f(x)$在点$x$处$n$阶可导，则$f(x)$在$x$的邻域必有所有低于$n$阶的导数
常用高阶导数
- （1）$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$
- （2）$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)$
- （3）$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
- （4）$(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$
高阶导数的求法
公式法
代公式法
- 利用常用高阶导数公式（如$(\sin x)^{(n)}$、$(\cos x)^{(n)}$、$(e^{ax})^{(n)}$等）直接求$n$阶导数
- 乘积的$n$阶导数用莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$
泰勒公式
- 将$f(x)$在$x_0$处按泰勒公式展开：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$
- 比较展开式中$(x-x_0)^n$项系数，由系数为$\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$反求出$f^{(n)}(x_0)$
题型一 导数与微分的概念
- 求含 $f$ 的极限先凑导数定义：$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$，把所求极限整理出该结构再代入已知导数值
- $1^\infty$ 型极限用结论 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{f(a+1/n)}{f(a)}\right]^n=e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}$（$f(a)\ne0$）
选择题可用排除法
- 分段函数在分界点处的导数一般要用定义求，不能直接套求导公式
- 由极限条件反推 $f(x_0)$、$f'(x_0)$ 时，借助泰勒公式、等价无穷小或极限保号性
- $f(x)=|x-a|g(x)$，$g(x)$在$x=a$连续，则$f(x)$在$x=a$可导$\Leftrightarrow g(a)=0$
- 判定 $|f(x)|$ 可导性：若 $f(x_0)\ne0$ 则与 $f(x)$ 可导性相同；若 $f(x_0)=0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 可导 $\Leftrightarrow f'(x_0)=0$；故 $f(a)=0$ 且 $f'(a)\ne0$ 是 $|f(x)|$ 在 $a$ 不可导的充分条件
- 含绝对值、分段或形如 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^{3n}}$ 的函数，先求出表达式并化简，不可导点只可能在分界点，再逐点用定义判断
利用导数定义求极限
- 凑出导数定义的结构，利用$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$求极限
利用导数定义求导数
- 直接用导数定义$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$求导数值
利用导数定义判断可导性
用极限判断可导性的条件
- $\varphi(x)$趋向于$0^+$和$0^-$
- $\varphi(x)\ne 0$
- $\varphi(x)$和$\psi(x)$同阶
- $\varphi(x)$在$a$点连续，$f(x)=\varphi(x)|x-a|$在$a$点可导的充要条件是$\varphi(a)=0$
可导性与绝对值可导性的关系
- $f(x)$可导与$|f(x)|$可导互相推不出来
连续性条件下的可导性关系
- （1） 若$f(x)$在$a$连续且$f(a)\ne0$，则$f(x)$在$a$可导$\Leftrightarrow|f(x)|$在$a$可导
- （2）若$f(a)=0$，$f'(a)=0\Leftrightarrow|f(x)|$在$a$可导
- 失去连续性条件时，$|f(x)|$在$a$可导推不出$f(x)$在$a$可导（$|f|$可导而$f$不可导）
题型二 导数的几何意义（例1-4）
- 切线斜率 $k=f'(x_0)$，切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$，法线斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$
- 隐函数曲线 $F(x,y)=0$：方程两端对 $x$ 求导解出 $y'$，再代入切点坐标求斜率
参数方程曲线
- $\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$，先由 $t_0$ 求出切点坐标和切线斜率
- 极坐标 $r=r(\theta)$ 先化为参数方程 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，再求 $\frac{dy}{dx}$
两曲线相切的条件
- 求切线/法线方程先定位切点坐标再求斜率，所得直线用直角坐标方程写出
题型三 导数与微分的计算
- 复合函数用链式法则；当 $g'(x_0)$ 或 $f'(u_0)$ 不存在时不能断定 $f(g(x))$ 不可导，应先求出复合函数表达式再判断
隐函数求导
- 方程两端对 $x$ 求导解出 $y'$；求 $y''$ 时对含 $y'$ 的式子再求导，并利用原方程化简
参数方程
- $\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$，二阶导 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\Big/x'(t)$；不要盲目套二阶公式，条件不够时逐步求
反函数
- $\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，二阶导由 $\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$ 得到
- 幂指函数、连乘连除、开方乘方形式的函数用对数求导法：两边取对数后再对 $x$ 求导
高阶导数三种常用方法
- 代公式、逐阶求导归纳、泰勒公式（比较 $x^n$ 系数得 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$）
常用高阶导数公式
- $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$，$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$，$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$
- 有理分式先拆项、三角函数先降幂，再用公式求 $n$ 阶导（如 $f(x)=e^x\sin x$：$f'(x)=e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt2 e^x\sin(x+\tfrac{\pi}{4})$）
复合函数求导
- $y=f(u),u=g(x)$，$g'(x_0)$和$f'(u_0)$都存在是$y$在$x_0$处可导的充分条件。若两者至少一个不存在，$y$在$x_0$不一定不可导，需先求出$y$关于$x$的表达式再进一步考察
隐函数求导
参数方程求导
- 一阶导数代公式，二阶导数等于一阶导数求导乘以x对t导数的倒数
- 求具体点的二阶导数代公式更简单
- 参数方程不可导则想办法化成$y=f(x)$
反函数求导
- $\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，即$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
高阶导数
公式法
- 有理式拆分成一阶有理分式和，归纳
- 三角高次幂一般用倍角公式降幂再求高阶导数
- 泰勒公式，奇函数只有奇数次项，偶函数只有偶数次项
第二节 导数应用
微分中值定理
费马引理
- 设$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，且在$x_0$处可导
- 若对该邻域内任意$x$有$f(x)\le f(x_0)$（或$f(x)\ge f(x_0)$），则$f'(x_0)=0$
- 可导的极值点必为驻点
罗尔定理
- 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$
- 则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使$f'(\xi)=0$
拉格朗日中值定理
- 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导
- 则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
- 也可写成$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西中值定理
- 设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g'(x)\ne 0$
- 则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
泰勒公式
泰勒公式、皮亚诺余项、拉格朗日余项、麦克劳林公式
泰勒公式
- $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$
皮亚诺余项
拉格朗日余项
- $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$在$x_0$与$x$之间
麦克劳林公式
几个常用的泰勒公式（拉格朗日型余项）
- （1）$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}$
- （2）$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+(-1)^n\frac{\cos(\theta x)}{(2n+1)!}x^{2n+1}$
- （3）$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+(-1)^{n+1}\frac{\cos(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$
- （4）$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}$
- （5）$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)(a-n)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{a-n-1}x^{n+1}$
- （以上$\theta$满足$\theta\in(0,1)$）
- $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$
四大中值定理之间的关系
- 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（当 $f(a)=f(b)$）
- 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，拉格朗日中值定理是它的特例（当 $g(x)=x$）
- 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广，拉格朗日中值定理是它的特例（当 $n=0$）
利用导数研究函数性态
单调性
- 闭区间连续，开区间可导，开区间f'>0闭区间单调递增，开区间f'<0闭区间单调递减
极值
极大值点、极小值点、极大值、极小值、极值点、极值、驻点
- 若在$x_0$的某去心邻域内恒有$f(x)\le f(x_0)$，称$x_0$为极大值点，$f(x_0)$为极大值；若恒有$f(x)\ge f(x_0)$则为极小值点和极小值
- 极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值
- 使$f'(x)=0$的点称为驻点（导数为零的点）
极值必要条件
- 在$x_0$可导且$x_0$是极值点，$f'(x_0)=0$
极值可能取得的点
- 对可导函数而言，极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点
- 对一般函数而言，极值只可能在驻点和导数不存在的点取得，需用充分条件判断这两类点是否取得极值
极值第一充分条件
- $f$在$x_0$某去心邻域可导，且$f'(x_0)=0$（或$f$在$x_0$连续）
- $x<x_0$时，$f'(x)>0$，$x>x_0$时，$f'(x)<0$，则$x_0$为极大值点
- $x<x_0$时，$f'(x)<0$，$x>x_0$时，$f'(x)>0$，则$x_0$为极小值点
- $f'$在$x_0$两侧同号，则$x_0$不为极值点
极值第二充分条件
- $f$在$x_0$二阶可导，且$f'(x_0)=0$
- $f''(x_0)<0$，则$x_0$为极大值点
- $f''(x_0)>0$，则$x_0$为极小值点
- $f''(x_0)=0$，则该方法无法判定
极值第三充分条件
- $f$在$x_0$的$n$阶导数$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，且低于$n$阶的导数都为$0$
- 如果n是偶数，则是极值点，导数>0极小值，导数<0极大值，如果n是奇数，则不是极值点
极值概念的注
- 函数在区间 $[a,b]$ 上的极值只能在开区间 $(a,b)$ 内取得，端点 $x=a$、$x=b$ 处不可能取得极值
- 若函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）在开区间 $(a,b)$ 内某点取得，则该点处必取得极大值（或极小值）
最值
最大值、最小值、最大值点、最小值点
- 若对区间$I$上任意$x$有$f(x)\le f(x_0)$（$x_0\in I$），称$f(x_0)$为$f(x)$在$I$上的最大值，$x_0$为最大值点
- 若有$f(x)\ge f(x_0)$，称$f(x_0)$为最小值，$x_0$为最小值点
- 极值是局部概念，最值是整体概念
求闭区间连续函数最值步骤
- 求出开区间内的驻点和不可导点
- 求出前一步各点的值和区间端点的函数值
- 比较以上各点函数值，最大的是最大值，最小的是最小值
最值的注
- 若闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内仅有唯一极值点，且在该点取得极大值（或极小值），则它也是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）
凹凸性
凹的、凸的、拐点
- 设$f(x)$在区间$I$上连续，若对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$I$上的图形是凹的
- 若恒有$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称其图形是凸的
- 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点
- 闭区间连续，开区间二阶可导，开区间f''>0闭区间凹，开区间f''<0闭区间凸
拐点必要条件
- 在$x_0$二阶可导且$x_0$是拐点，$f''(x_0)=0$
拐点第一充分条件
- $f$在$x_0$某去心邻域二阶可导，且$f''(x_0)=0$（或$f$在$x_0$连续）
- $f''$在$x_0$两侧异号，则$x_0$是拐点
- $f''$在$x_0$两侧同号，则$x_0$不是拐点
拐点第二充分条件
- $f$在$x_0$三阶可导，且$f''(x_0)=0$
- $f'''(x_0)\ne 0$，则$x_0$为拐点
- $f'''(x_0)=0$，则该方法无法判定
拐点第三充分条件
- $f$在$x_0$的$n$阶导数$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，且低于$n$阶的导数都为$0$
- 如果n是奇数，则是拐点，如果n是偶数，则不是拐点
拐点判定与极值判定的关系
- 将极值点的必要条件和三个充分条件中的导数阶数提高一阶，便是拐点的一个必要条件和三个充分条件
渐近线
水平渐近线
- $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$
铅直渐近线
- $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$
斜渐近线
- 找出$f(x)=ax+b+\alpha$，$\alpha$是$x\to\infty$时的无穷小
弧微分和曲率
弧微分
曲率
- $K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$
曲率的定义与参数方程计算
- 曲率的定义为 $K=\lim_{\Delta s\to 0}\left|\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|$，其中 $\Delta\alpha$ 为切线倾角的改变量，$\Delta s$ 为弧长的改变量
- 若曲线由参数方程 $x=x(t),\ y=y(t)$ 给出，则 $K=\dfrac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$
曲率半径、曲率中心、曲率圆
曲率半径
- $R=\dfrac{1}{K}$，其中$K$为曲线在该点的曲率
曲率中心
曲率圆
- 以曲率中心为圆心、曲率半径为半径的圆，曲线与该圆在该点有相同的切线和相同的曲率
题型一 函数的单调性、极值与最值（例1-5）
求单调区间与极值
- 确定定义域，求 $f'(x)$，解 $f'(x)=0$ 得驻点并找导数不存在的点，列表判断 $f'(x)$ 的符号
- 变限积分函数用 $\Phi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$ 求导后再讨论
- 极值只可能在驻点或导数不存在的点取得；判定用第一、第二、第三充分条件
- 由 $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}=a$ 配合 $f'(x_0)=0$，用极限保号性判定：$a>0$ 取极小值，$a<0$ 取极大值
- 由条件等式或极限先推出 $f'(x_0)=0$（$x_0$ 为驻点），再用二阶导符号或泰勒展开判断极值类型
- 闭区间 $[a,b]$ 上求最值：比较驻点、不可导点及端点处的函数值
- 闭区间上连续函数在开区间内仅有唯一极值点，若为极大（小）值，则它也就是最大（小）值
- 一般先求出$f'(x)=0$的点，即驻点，然后列表，根据$f'(x)$正负判断单调性、极值
- 隐函数求出驻点后一般根据二阶导数的正负判断极值
- $f'(x)$和$f''(x)$混合方程求极值，将$f'(x)=0$代入进去，如果还不能，若$f''(x)$连续，则取$f''(x)$的极限
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率（例1-6）
- 凹凸性由 $f''$ 符号判定：$f''(x)>0$ 凹（下凸），$f''(x)<0$ 凸；拐点是凹凸性发生改变的点
- 拐点必要条件 $f''(x_0)=0$ 或 $f''$ 不存在；判定用第一充分条件或第二充分条件（$f''(x_0)=0$ 且 $f'''(x_0)\ne0$ 时为拐点）
参数方程曲线
- $y'=\frac{y'(t)}{x'(t)}$，$y''=\frac{d}{dt}(y')\Big/x'(t)$，列表由 $t$ 判断 $y'$、$y''$ 符号确定单调、凹凸与拐点
铅直渐近线
- $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$；水平渐近线：$\lim_{x\to\infty}f(x)=b$
斜渐近线
- $a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$，$b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]$，需分别讨论 $x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$
- 求渐近线条数时分类讨论：先找铅直渐近线，再找水平/斜渐近线（某侧存在水平渐近线则该侧无斜渐近线）
- 曲率 $K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$，参数方程 $K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$，曲率半径 $R=\frac{1}{K}$
- 参数方程t的左右可能和x的左右相反，看导数正负
题型三 方程的根的存在性及个数（例1-8）
存在性
- 用零点定理 $f(a)f(b)<0$；或构造原函数用罗尔定理
根的个数上界
- 用单调性（每个单调区间至多一个根）；或用罗尔定理推论——若 $f^{(n)}(x)\ne0$，则 $f(x)=0$ 最多有 $n$ 个实根
- 讨论含参方程根个数先分离参数（化为 $a=g(x)$），再研究 $g(x)$ 的单调性、极值，数直线与曲线交点
- 求 $f(x)$ 的单调区间与极值，结合 $\lim_{x\to\pm\infty}$ 或端点极限确定根的个数
证明“有且仅有”
- 先用零点定理证存在性，再用单调性或罗尔定理推论证唯一/个数上界
- 构造辅助函数 $F(x)=f(x)-g(x)$，把方程根的问题转化为函数零点问题
- 含有参数的方程在求导时尽量把参数想办法去掉
题型四 函数不等式（例1-5）
- 证明函数不等式的常用五种方法：单调性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、凹凸性
- 移项构造辅助函数 $F(x)$（如左减右，或两边取对数），用单调性或最值证明；证 $F(x)\ge0$ 只需证其最小值 $>0$（或 $\ge0$）
- 形如 $f(b)-f(a)$ 的不等式用拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再估计 $f'(\xi)$
- 比较幂指型大小（如 $e^\pi$ 与 $\pi^e$）先取对数，转化为比较 $\frac{\ln x}{x}$ 型函数的单调性
- 含 $f''(x)>0$（凹）可用曲线在其切线上方证不等式；含高阶导数用带拉格朗日余项的泰勒公式
常用基本不等式
- 当 $x>0$ 时 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$；类似地 $(1+x)^{1/x}<e^{1+\frac1x}$
- 凹函数大于它的切线函数，凸函数小于它的切线函数
题型五 微分中值定理有关的证明题
- 证明存在 $\xi$ 使 $F[\xi,f(\xi),f'(\xi)]=0$：把结论改写为 $F=0$，构造辅助函数 $g(x)$ 使 $g'(x)=F[x,f(x),f'(x)]$，再用罗尔定理
构造辅助函数两法
- 分析法（还原法）由结论反推原函数；微分方程法把结论中 $\xi$ 换成 $x$ 解微分方程，其通解即辅助函数
常用辅助函数
- 欲证 $\xi f'(\xi)+nf(\xi)=0$ 令 $F(x)=x^nf(x)$；欲证 $\xi f'(\xi)-nf(\xi)=0$ 令 $F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$
- 欲证 $f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^{\lambda x}f(x)$；特别 $f'(\xi)+f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^xf(x)$，$f'(\xi)-f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^{-x}f(x)$，$\alpha f'(\xi)+\beta f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^{\frac{\beta}{\alpha}x}f(x)$
- 欲证 $f'(\xi)+g'(\xi)f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^{g(x)}f(x)$；欲证 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$ 令 $F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x)$
存在两个不同中值点
- 不要求区分时在同一区间用两次中值定理（拉格朗日、柯西中值定理）；要求 $\xi\ne\eta$ 时把区间分成两个子区间分别用拉格朗日中值定理，分点用逆推法确定
- 证明含 $f^{(n)}(\xi)$（$n\ge2$）的不等式：用带拉格朗日余项的泰勒公式，展开点 $x_0$ 选题目中函数值、导数值信息最多的点
- 用泰勒公式在不同点展开后作差，结合绝对值不等式放缩得到 $|f^{(n)}(\xi)|\ge$（或 $\le$）某常数的结论
一元函数积分学
第一节 不定积分
概念
原函数与不定积分
- 在区间 $I$ 上，$f(x)$ 带有任意常数的原函数称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$
- 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数，则 $\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$
- 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x)+C$（$C$ 为任意常数）是 $f(x)$ 的所有原函数
不定积分的几何意义
- 不定积分表示一族曲线 $y=F(x)+C$，称为 $f(x)$ 的积分曲线族
- 族中每条曲线在横坐标相同处切线斜率都等于 $f(x)$，故切线互相平行
- $y=F(x)+C$ 中不同曲线只相差一个常数，可由一条沿 $y$ 轴平移得到
原函数存在定理
- 在区间I上连续，则在I上一定存在原函数
- 在区间I上有第一类间断点，则在I上没有原函数
不定积分的性质
- （1）$\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$， $\mathrm{d}\int f(x)dx=f(x)dx$
- （2）$\int f'(x)dx=f(x)+C$， $\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C$
- 和差的不定积分等于不定积分的和差
- 常数倍的不定积分等于不定积分的常数倍
不定积分基本公式
- （1）$\int 0dx=C$
- （2）$\int x^a dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$ $(a\neq-1)$
- （3）$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
- （4）$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ $(a>0,a\neq1)$
- （5）$\int e^x dx=e^x+C$
- （6）$\int\sin x dx=-\cos x+C$
- （7）$\int\cos x dx=\sin x+C$
- （8）$\int\sec^2 x dx=\tan x+C$
- （9）$\int\csc^2 x dx=-\cot x+C$
- （10）$\int\sec x\tan x dx=\sec x+C$
- （11）$\int\csc x\cot x dx=-\csc x+C$
- （12）$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
- （13）$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
- （14）$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$
- （15）$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
- （16）$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$
- （17）$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
- （18）$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
- （19）$\int\sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
- （20）$\int\csc x dx=-\ln|\csc x+\cot x|+C$
- $\int\tan x dx=-\ln|\cos x|+C$
- $\int\cot x dx=\ln|\sin x|+C$
积分法
第一换元（凑微分）
- $\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\int f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$
常见凑微分形式
- （1）$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b)$
- （2）$\int x^m f(ax^{m+1}+b)dx=\frac{1}{(m+1)a}\int f(ax^{m+1}+b)\mathrm{d}(ax^{m+1}+b)$ $(m\neq-1)$
- （3）$\int f(\sqrt{x})\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}(\sqrt{x})$
- （4）$\int f(e^x)e^x dx=\int f(e^x)\mathrm{d}(e^x)$
- （5）$\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x)$
- （6）$\int f(\sin x)\cos x dx=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x)$
- （7）$\int f(\cos x)\sin x dx=-\int f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x)$
- （8）$\int f(\tan x)\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x)$
- （9）$\int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)$
- （10）$\int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x)$
第二换元
- $\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C$
- （1）被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=a\sin t$（或$a\cos t)$
- （2）被积函数含有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=a\tan t$
- （3）被积函数含有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=a\sec t$
分部积分
- $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$
适用函数
- 两类不同函数相乘
- $\int p_n(x)e^{ax}dx$， $\int p_n(x)\sin ax dx$， $\int p_n(x)\cos ax dx$， $\int e^{ax}\sin\beta x dx$
uv选取
- 多项式和指数函数三角函数相乘，指数函数三角函数凑进去
- 指数函数和三角函数相乘两个都可以凑，指数更简单，连续两次还原
- 多项式和对数、反三角相乘，把多项式凑进去
常见可积函数
有理式积分
一般方法（部分分式法）
部分分式分解的常见情形
多项式直接求
- 被积函数为多项式（整式）时，直接逐项积分
- $\int\sum a_kx^k\,\mathrm{d}x=\sum\dfrac{a_k}{k+1}x^{k+1}+C$
分母为一次因式的幂
- 分母为一次因式的幂 $(x-a)^n$ 时，作换元 $u=x-a$（凑微分）
- $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{(x-a)^n}=\dfrac{(x-a)^{1-n}}{1-n}+C\ (n\neq1)$；$n=1$ 时为 $\ln|x-a|+C$
分母为二次因式的幂
- 分母为二次因式的幂时，先配方或利用部分分式拆项
- 可化为 $u^2+a^2$、$a^2-u^2$ 等标准形，用递推或三角代换积分
多项式除法和待定系数
- 被积函数为假分式时，先用多项式除法化为“多项式 $+$ 真分式”
- 真分式用待定系数法拆成部分分式，再逐项积分
特殊方法（加项减项或凑微分降幂）
- 对有理式通过加项、减项、拆项，化为易于积分的形式
- 或凑微分降幂，把分式化简后再积分
三角有理式积分
一般方法（万能代换）
- $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dt$
- 令$\tan\frac{x}{2}=t$
特殊方法（三角变形，换元，分部）
常用换元
- 若$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令$u=\cos x$，或凑$\mathrm{d}\cos x$
- 若$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令$u=\sin x$，或凑$\mathrm{d}\sin x$
- 若$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$，则令$u=\tan x$，或凑$\mathrm{d}\tan x$
简单无理函数积分
- $\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx$
- 令$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$
其他技巧
- 分子有理化
- 被积函数含根式之差（如 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$）时，分子分母同乘其共轭式 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
- 目的是消去分子中的根号，把被积函数化为便于积分的形式
题型一 计算不定积分（例1-14）
- 被积函数含根式用第二类换元：含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$，含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 令 $x=a\tan t$，含 $\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$
- 有理函数用部分分式法（比较同次幂系数定常数），或用加项减项拆项、凑微分降幂（如 $\int \frac{dx}{1+x^4}$ 先拆项）
- 分部积分用于两类不同函数相乘：$\int p_n(x)e^{ax}dx$、$\int p_n(x)\sin ax\,dx$、$\int p_n(x)\cos ax\,dx$ 先把多项式以外的函数凑入微分号
- $\int p_n(x)\ln x\,dx$、$\int p_n(x)\arctan x\,dx$、$\int p_n(x)\arcsin x\,dx$ 先把多项式凑入微分号再分部积分
- $\int e^{ax}\sin bx\,dx$、$\int e^{ax}\cos bx\,dx$ 连续两次分部积分（把指数函数凑入微分号）还原求出原积分
- $R(-\sin x,\cos x)=-R$ 时凑 $d\cos x$；$R(\sin x,-\cos x)=-R$ 时凑 $d\sin x$；$R(-\sin x,-\cos x)=R$ 时凑 $d\tan x$；否则用万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$
- 被积函数含 $\sqrt{x^2\pm a^2}$ 或分式根式时，可令根式整体为 $t$ 有理化后再积分
- 简单无理函数 $\int R\left(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx$ 令 $t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 化为有理函数积分
题型二 不定积分杂例（例1-5）
- 已知含 $\int f$ 的等式求其他积分：对等式两端求导得 $f(x)$（或 $xf(x)$ 的表达式），再积分求待求量
- 形如 $f'(\varphi(x))=g(x)$ 的复合导数式，可换元 $t=\varphi(x)$，或把等式两端对 $\varphi(x)$ 积分求出 $f$
- 分段函数（含绝对值、$\max$、分段定义）的不定积分须逐段积分
- 分段积分时先用原函数连续性确定各段常数间的关系，各段常数不能任意取
- 利用 $\left(\int f\right)'=f$、$\int f'=f+C$ 等互逆关系反推被积函数
第二节 定积分
定积分概念
定积分的定义
- 分割，求和，取极限
- $\int_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$
- 定积分是数值，仅与积分区间和被积函数有关，与积分变量x无关
- 定积分存在，则和的极限与ξ的取法以及区间的分法无关
等分，取右边界函数值
- $\int_0^1 f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)$
存在的必要条件
存在的充分条件
- 闭区间上连续
- 闭区间上有界，且只有有限个间断点
- 闭区间上只有有限个第一类间断点
几何意义
- $f(x)\ge 0$，表示曲线$y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$轴围成的曲边梯形面积
- $f(x)\le 0$，表示曲线$y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$轴围成的曲边梯形面积的负值
- $f(x)$有正有负，表示$x$轴上方的面积与$x$轴下方面积的差
定积分性质
不等式
闭区间$[a,b]$上$f(x)\le g(x)$
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$
闭区间[a，b]上的最大值M，最小值m
- $m(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)$
- $\left|\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leqslant\int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x$
中值定理
闭区间[a，b]上连续
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a<\xi<b)$
闭区间上的平均值
- $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
闭区间$[a,b]$上$f(x),g(x)$连续，$g(x)$不变号
- $\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x\quad(a\leqslant\xi\leqslant b)$
- 交换上下限变号
- b=a，积分=0
- 线性组合的积分等于积分的线性组合
中点拆分
- 对任意 $c$，$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x$
- 即定积分关于积分区间具有可加性
恒等于1
- 被积函数恒为 $1$ 时，$\int_a^b 1\,\mathrm{d}x=b-a$
- 即定积分等于积分区间的长度
非负被积函数的积分性质
- 若 $f(x)\ge0$ 且在 $[a,b]$ 上不恒为 $0$（连续），则 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x>0$
- 据此可由函数大小关系比较相应积分的大小
积分上限函数
积分上限函数（变上限积分）
- $\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$
定理
- 被积函数闭区间上连续，则积分上限函数（下限左端点）在闭区间上可导，导函数等于被积函数
- 函数$f(x)$闭区间上连续，则积分上限函数（下限左端点）是$f(x)$在闭区间上的一个原函数，由此连续函数必有原函数
- $\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(t)\,\mathrm{d}t\right)'=f[\varphi_{2}(x)]\cdot\varphi_{2}'(x)-f[\varphi_{1}(x)]\cdot\varphi_{1}'(x)$
- （2） $\left(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x,t)\,\mathrm{d}t\right)'=\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,\mathrm{d}t+f(x,\psi(x))\psi'(x)-f(x,\varphi(x))\varphi'(x)$
- （3） $\left(\int_{a}^{b}f(x,t)\,\mathrm{d}t\right)'=\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,\mathrm{d}t$
连续性与可导性
- $f(x)$在$[a,b]$可积，则变上限在$[a,b]$连续
可导性
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $F'(x)=f(x)$
- $f(x)$在除点$x=x_0$外均连续，考察积分上限函数在$x=x_0$的性态
- ①连续$\Rightarrow$变上限可导
- ②可去$\Rightarrow$变上限可导
- ③跳跃$\Rightarrow$变上限连续
函数$f(x)$在闭区间$[-l,l]$上连续
- $f(x)$奇函数，则积分上限函数（下限$a$）偶函数
- $f(x)$偶函数，则积分上限函数（下限$0$）奇函数
含 $x$ 时把 $x$ 移出积分号
- （1） $\int_{\mathrm{e}^{x}}^{x^{2}}f(t)\,\mathrm{d}t$
- （2） $\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\mathrm{d}t$
- （3） $\int_{0}^{x}\cos(x-t)^{2}\,\mathrm{d}t$
- （4） $\int_{1}^{2}f(x+t)\,\mathrm{d}t$
定积分的计算
牛顿莱布尼兹公式
$f(x)$闭区间连续，$F(x)$是闭区间$f(x)$的一个原函数
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)\bigg|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
换元积分法
$f(x)$闭区间$I$连续，$\varphi(t)$满足
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$
- $\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$
- $\varphi(t)$在$[\alpha,\beta]$上有连续导数，且其值域$R_\varphi\subseteq I$
分部积分法
- $\int_{a}^{b}u\,\mathrm{d}v=uv\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\,\mathrm{d}u$
奇偶性，周期性
$f(x)$是$[-a,a]$上的连续函数
- $\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=\begin{cases}0, & f(x)\text{为奇函数时}\\ 2\int_{0}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x, & f(x)\text{为偶函数时}\end{cases}$
$f(x)$是以$T$为周期的连续函数
- $\int_{a}^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{T}f(x)\,\mathrm{d}x$
常用积分公式
- $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n\text{为正偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{2}{3}, & n\text{为大于1的奇数}\end{cases}$
- $\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,\mathrm{d}x$（其中 $f(x)$ 连续）
技巧
- 圆心在原点或（a，0），半径为a的圆
- $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi a^{2}}{4},$
- $\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi a^{2}}{4},$
- $\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi a^{2}}{2}$
题型一 定积分的概念、性质及几何意义（例1-4）
- 数列和式极限 $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right)=\int_0^1 f(x)dx$；n 项乘积型先取对数化为和式
- 用洛必达法则求导、等价无穷小代换或积分中值定理处理
- 用积分中值定理得 $\int f=f(\xi)$ 时，$\xi$ 随区间与被积函数变化，不可直接用 $\xi^n\to0$ 之类的结论（经典错误）
- 积分区间长度趋于0且被积函数有界时定积分趋于0，可用放缩加夹逼证明
- 利用几何意义（面积的正负、上下图形之差）与奇偶性判断或比较定积分值
题型二 定积分计算（例1-12）
- 奇函数在对称区间积分为0，偶函数为半区间积分的2倍；周期函数在长度为一个周期的区间上积分相等
- 华里士公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$，以及 $\int_0^\pi \sin^n x\,dx$ 按 n 的奇偶分情况的结论
- 公式 $\int_0^\pi x f(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx$
- 区间还原代换 $\int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx$，用于 $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ 型；一般地 $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$（区间不变，适合原函数不易求的情形）
- $\sqrt{1-\sin 2x}=|\cos x-\sin x|$ 等须分区间去掉绝对值后再积分
- 被积函数满足含自身积分的等式时，把该积分视为常数，两端乘以相应因子积分求出常数再回代
- 先求原函数再代入上下限，注意区间内有无瑕点
- 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 用几何意义或三角代换，如 $\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac\pi2 a^2$
题型三 变上限积分函数及其应用（例1-11）
- 变上限积分求导 $\left(\int_a^x f(t)dt\right)'=f(x)$；上下限均为函数时用复合求导，下限带负号
- 被积函数中含 $x$ 时，先换元把 $x$ 移出积分号再求导
- f 在 $x_0$ 连续则 $F$ 可导且 $F'(x_0)=f(x_0)$；$x_0$ 为可去间断则可导且 $F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$；为跳跃间断则 $F$ 连续但不可导
- f 为奇函数则 $\int_0^x f(t)dt$ 为偶函数；f 为偶函数则 $\int_0^x f(t)dt$ 为奇函数
- 求变上限积分相关极限常用三种方法：洛必达法则、等价无穷小代换、积分中值定理
- 若 f、g 在 $x=0$ 附近连续且 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，则 $\int_0^x f(t)dt\sim\int_0^x g(t)dt$
- 由变上限积分等式两端求导得函数方程或微分方程，结合初值求出 $f$
- 结合反函数关系 $g(f(x))=x$、$g'(f(x))f'(x)=1$ 化简求导
题型四 积分不等式（例1-6）
- 证明积分不等式的常用方法：变量代换、积分中值定理、构造变上限积分函数求导、柯西积分不等式
- 柯西积分不等式 $\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2\le\int_a^b f^2(x)dx\int_a^b g^2(x)dx$
- 构造辅助函数 $F(x)=\int_a^x \cdots$，求导判断 $F$ 的单调性，再用端点值证明不等式
- 用被积函数的大小关系放缩，如 $x\in(0,\frac\pi2)$ 时 $\sin x<x<\tan x$，据此比较定积分
- 把函数写成 $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt$（或 $f(x)=\int_a^x f'$），再用 $\max|f'|$ 放缩证明
- 对单调函数用积分中值定理或变量代换，结合 $f$ 的单调性比较积分大小
第三节 反常积分
反常积分
- 反常积分也称广义积分，包括无穷区间上的反常积分与无界函数的反常积分
- 其敛散性由相应极限是否存在来判定
无穷区间上的反常积分
概念
$[a,+\infty)$上的反常积分
- $\int_{a}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f(x)\,\mathrm{d}x$
$(-\infty,b]$上的反常积分
- $\int_{-\infty}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_{t}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
$(-\infty,+\infty)$上的反常积分
- $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$
- 有一个发散即发散
收敛与发散的定义
- 若极限 $\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^t f(x)\,\mathrm{d}x$ 存在（为有限值），则称反常积分收敛
- 若该极限不存在，则称反常积分发散
定理
比较判别法
$f(x),g(x)$在$[a,+\infty)$连续，且$0\le f(x)\le g(x)$
- $f$发散 $\Rightarrow$ $g$发散
- $g$收敛 $\Rightarrow$ $f$收敛
比较判别法的极限形式
$f(x),g(x)$在$[a,+\infty)$非负连续
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷）
- $\lambda\ne0$时，同收敛
- $\lambda=0$时，$g$收敛 $\Rightarrow$ $f$收敛
- $\lambda=+\infty$时，$g$发散 $\Rightarrow$ $f$发散
- $\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}\,\mathrm{d}x\begin{cases}p>1, & \text{收敛},\\ p\leqslant 1, & \text{发散},\end{cases}\quad(a>0)$
无界函数的反常积分
概念
瑕点
[a，b]上的反常积分
（a，b]连续，a瑕点
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
[a，b）连续，b瑕点
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)\,\mathrm{d}x$
[a，b]除点c外连续，c瑕点
- $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
- 有一个发散即发散
收敛与发散的定义
- 若相应极限 $\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称无界函数的反常积分收敛
- 若该极限不存在，则称其发散
定理
比较判别法
$f(x),g(x)$在$(a,b]$上连续，且$0\le f(x)\le g(x)$，$a$为瑕点
- $f$发散 $\Rightarrow$ $g$发散
- $g$收敛 $\Rightarrow$ $f$收敛
比较判别法的极限形式
$f(x),g(x)$在$(a,b]$上非负连续，$a$为瑕点
- $\lim\limits_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷）
- $\lambda\ne0$时，同收敛
- $\lambda=0$时，$g$收敛 $\Rightarrow$ $f$收敛
- $\lambda=+\infty$时，$g$发散 $\Rightarrow$ $f$发散
- $\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^{p}}\,\mathrm{d}x\begin{cases}p<1, & \text{收敛},\\ p\geqslant 1, & \text{发散}.\end{cases}$
- $\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^{p}}\,\mathrm{d}x\begin{cases}p<1, & \text{收敛},\\ p\geqslant 1, & \text{发散}.\end{cases}$
判断敛散性方法
定义
- 求出原函数再对瑕点（或无穷端点）取极限
- 极限存在则收敛，否则发散
比较判别法
- 将待判反常积分与已知敛散的积分（常用 $p$ 积分）比较
- 由 $0\le f(x)\le g(x)$：$\int g$ 收敛则 $\int f$ 收敛；$\int f$ 发散则 $\int g$ 发散
比较判别法的极限形式
- 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上非负连续，$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷）
- $\lambda\ne0$ 时 $f$ 与 $g$ 同敛散；$\lambda=0$ 时 $g$ 收敛则 $f$ 收敛；$\lambda=+\infty$ 时 $g$ 发散则 $f$ 发散
p积分
- $\int_a^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散（$a>0$）
- $\int_a^b\dfrac{\mathrm{d}x}{(x-a)^p}$：$p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散
- 常作为比较判别法的标准比较对象
伽玛函数
- $\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^{t}}\,\mathrm{d}t$
- $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$
- $\Gamma(n+1)=n!\ (n=0,1,2,\dots)$
题型一 反常积分的敛散性（例1-4）
- $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 当 $p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散
- $\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p}$ 当 $p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散
- 与非负函数 g 比较，$\lim\frac fg=\lambda>0$ 时同敛散；$\lambda=0$ 时 g 收敛则 f 收敛；$\lambda=+\infty$ 时 g 发散则 f 发散
- 先找出所有瑕点（无界点）；区间既有无穷端又有瑕点时分段判断，各段都收敛才收敛（如 $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^a(1+x)^b}$ 须 $a<1$ 且 $a+b>1$）
- 用等价无穷小/等价量取参照函数（如 $x\to0$ 时 $\sin x\sim x$，$x\to\infty$ 时比较幂次）
- $\int_0^{+\infty}e^{-x}dx$、$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx$ 收敛
题型二 反常积分计算（例1-4）
- 按定义先求原函数再取极限：$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]$
- 计算用换元法（含根式可令 $x-1=a\sec t$ 等三角代换）与分部积分法
- 有瑕点时须在瑕点处分段取极限计算
- 含 $x$ 与 $1/x$ 对称的积分用倒代换 $x=\frac1t$，将两段积分合并化简
- 分部积分时注意边界项在无穷端的极限（如 $x\to+\infty$ 时该项趋于0）
第四节 定积分应用
定积分的应用
- 用定积分计算平面图形面积、弧长、旋转体体积及侧面积、已知平行截面面积的立体体积、变力做功、压力、引力、函数平均值等
- 解决这类问题常采用元素法（微元法）
几何应用
平面图形面积
$y=f(x)$、$y=g(x)$、$x=a$、$x=b$包围
- $S=\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
$r=r(\theta)$、$\theta=\alpha$、$\theta=\beta$包围
- $S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$
用二重积分表示平面区域面积
- 平面域 $D$ 的面积 $S=\iint\limits_D 1\,\mathrm{d}\sigma$
- 直角坐标下 $S=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{g(x)}^{f(x)}\mathrm{d}y=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$
旋转体体积
平面域绕L：ax+by+c=0旋转
- $V=2\pi\iint\limits_D r(x,y)\mathrm{d}\sigma$
$D$由$y=f(x)$、$x=a$、$x=b$、$x$轴包围
D绕x轴旋转一周
- $V_x=\pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x$
D绕y轴旋转一周
- $V_y=2\pi\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x$
曲线弧长
$C:y=y(x)$，$a\le x\le b$
- $s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x$
$C:x=x(t)$，$y=y(t)$，$\alpha\le t\le\beta$
- $s=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2}\mathrm{d}t$
$C:r=r(\theta)$，$\alpha\le\theta\le\beta$
- $s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+r'^2}\mathrm{d}\theta$
旋转体侧面积
- $S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x$
平行截面面积已知的立体体积
- 已知横截面面积的立体体积为 $V=\int_a^b S(x)\,\mathrm{d}x$，其中 $S(x)$ 为垂直于 $x$ 轴、位置为 $x$ 处的截面面积
物理应用
压力
- 静压力微元 $\mathrm{d}P=\rho g\,h(x)\,L(x)\,\mathrm{d}x$，其中 $h(x)$ 为深度、$L(x)$ 为宽度
- $P=\int_a^b\rho g\,h(x)\,L(x)\,\mathrm{d}x$
变力做功
- 变力沿直线做功的微元 $\mathrm{d}W=F(x)\,\mathrm{d}x$
- $W=\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$
引力
- 两质点间引力 $F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$，方向沿两质点连线
- 用微元法求细棒（或面）对质点的引力，再分别对坐标轴投影后积分
元素法（微元法）
- 用定积分计算几何量与物理量（面积、弧长、体积、侧面积、变力做功、压力、引力、函数平均值等）时常采用“元素法”（微元法）
题型一 几何应用（例1-5）
- 直角坐标 $S=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$；极坐标 $S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$
- 绕 x 轴 $V_x=\pi\int_a^b f^2(x)dx$；绕 y 轴用柱壳法 $V_y=2\pi\int_a^b x f(x)dx$
- 绕任意直线 $L:ax+by+c=0$ 旋转用二重积分 $V=2\pi\iint_D \rho(x,y)\,d\sigma$，再选合适坐标系计算
- 面积 $S=\int y\,dx$，体积 $V=\pi\int y^2\,dx$，弧长 $s=\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$
- 先设切点写切线方程解出切点，再求面积、体积
- 同一区域绕不同轴（直线）旋转可分别用对 x 积分、对 y 积分或二重积分计算
题型二 物理应用（例1-4）
- 液体的压力微元 $dP=\rho g\,h\cdot l(y)\,dy$，$h$ 为该处到自由面的深度
- 变力做功 $W=\int_a^b F(x)dx$；抽水做功 $dW=\rho g(H-y)A(y)dy$，$H$ 为容器深度
- 引力做功须把引力沿运动方向投影为分力后再积分，$W=\int F_x\,dx$
- 质心（形心）坐标 $\bar x=\frac{\int_a^b x\rho(x)dx}{\int_a^b \rho(x)dx}$
- 先建系、取微元，理清深度/位移与积分变量的关系及正负方向
常微分方程
第一节 基本概念
- 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程；方程中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶
- 满足微分方程的函数称为该方程的解
- 含任意常数、且任意常数的个数与方程阶数相同的解称为通解
- 不含任意常数的解称为特解；确定特解的一组常数称为初始条件
- 微分方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该方程的积分曲线
第二节 一阶微分方程
可分离变量
- $g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$
两端分别积分
- 分离变量后两端分别积分：$\int g(y)\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x$
- 积分后得含一个任意常数的隐式通解 $G(y)=F(x)+C$，其中 $G'=g,\ F'=f$
齐次微分方程
- $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$
- 令$u=y/x$，则$y'=u+xu'$，原方程化为$xu'=\varphi(u)-u$，分离变量
一阶线性微分方程
- $y'+p(x)y=q(x)$
通解公式
- $y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\left[\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right]$
- 指数上的积分不需要C和绝对值
常数变易法
- 求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，也可直接利用通解公式
伯努利方程
- $y'+p(x)y=Q(x)y^n$
变量代换
- $u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)$
- $u=y^{1-n}$，化为一阶线性方程
全微分方程
- $\mathrm{d}u(x,y)=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,$
- $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
偏积分、凑微分、线积分
偏积分
- 由 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=P$ 对 $x$ 偏积分得 $u=\int P\,\mathrm{d}x+\varphi(y)$，再由 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=Q$ 定出 $\varphi(y)$
凑微分
- 把 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 凑成某函数的全微分 $\mathrm{d}u$
线积分
- 沿路径 $M_0\to M$ 积分得 $u(x,y)=\int_{M_0}^{M}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$
全微分方程的通解
- 若 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 是某函数 $u(x,y)$ 的全微分，则全微分方程 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$ 的通解为 $u(x,y)=C$
非标准型一阶方程的转化
- 如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，可先将 $x,y$ 对调（即认定 $x$ 为 $y$ 的函数）再判定新方程的类型，或利用简单的变量代换将其化为五种标准型之一再求解
第三节 高阶微分方程
可降阶
- $y^{(n)}=f(x)$
- $y''=f(x,y')$
- 令$y'=p,\ y''=p'$，方程化为$p'=f(x,p)$，解得$p=y'=\varphi(x,C)$，再对$x$积分得$y=\int\varphi(x,C)\,\mathrm{d}x+C_2$
- $y''=f(y,y')$
- 令$y'=p,y''=p(dp/dy)$，化为$py$的一阶微分方程，解出来后的$p=y'=\varphi(y,C)$，分离变量求解
线性微分方程
一般线性微分方程
方程形式
解的结构定理
- 齐次所有线性无关特解的线性组合是齐次的通解
- 非齐次的通解是齐次的通解加一个非齐次的特解
- 两个非齐次的特解之差是齐次的解
非齐次方程特解的叠加原理
- $y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)$
- $y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)$
- $y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$
线性无关的判定
- 二阶线性齐次方程的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数
常系数齐次线性微分方程
方程形式
通解
2阶
- 特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r_1,r_2$ | 微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解
- 两个不相等的实根 $r_1,r_2$ | $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
- 两个相等的实根 $r_1=r_2$ | $y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
- 一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
n阶
- 特征方程的根 | 微分方程通解中的对应项
- 单实根 $r$ | 给出一项：$Ce^{rx}$
- 一对单复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ | 给出两项：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
- $k$ 重实根 $r$ | 给出 $k$ 项：$e^{rx}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
- 一对 $k$ 重复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ | 给出 $2k$ 项：$e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$
常系数非齐次线性微分方程
方程形式
特解
指数型自由项
特征根与 $k$ 的取值
- $y^*=x^kR_m(x)e^{\lambda x}$
- $k$ 按 $\lambda$ 不是特征方程的根、单根、重根取 $0$、$1$、$2$
- $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$
指数三角型自由项
特征根与 $k$ 的取值
- $y^*=x^k\mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\sin\omega x\right]$
- m=max{l，n}
- $k$ 按 $\lambda+\omega i$ 是不是特征方程的解取 $1$、$0$
- $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x\right]$
欧拉方程
方程形式
- $x^n y^{(n)}+p_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_n y=f(x)$
求解方法
- 令 $x=e^{t}$ 化为常系数线性方程
- $x^k y^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y$
- 求解时直接写成 r（r-1）...（r-k+1），求特征方程
题型一 微分方程求解（例1-3）
- 求解一阶方程先判断类型：可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利、全微分，再选对应解法
- 可分离变量方程分离后两端积分：$g(y)\,dy=f(x)\,dx$，注意 $g(y)\neq0$ 的情形单独讨论
- 齐次方程令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y'=u+xu'$，化为一阶可分离变量方程 $xu'=\varphi(u)-u$
- 一阶线性方程 $y'+p(x)y=Q(x)$ 用通解公式 $y=e^{-\int p\,dx}\left(\int Qe^{\int p\,dx}dx+C\right)$，也可用常数变易法
- 若以 $y$ 为自变量不便，可把 $x$ 视为 $y$ 的函数或作变量代换，化为上述标准型之一
可降阶方程
- $y''=f(x)$ 逐次积分；$y''=f(x,y')$ 令 $p=y'$；$y''=f(y,y')$ 令 $p=y'$ 得 $y''=p\frac{dp}{dy}$
- 常系数非齐次先解齐次通解，再按自由项设特解，依 $\lambda$（或 $\alpha+i\beta$）是否为特征根取 $k=0,1,2$
已知特解求方程
- 用特解之差构造齐次解，反推特征根与齐次方程，再代特解定非齐次项与通解
题型二 综合题（例1-6）
- 含变限积分 $\int_0^x f(t)\,dt$ 的方程，两端对 $x$ 求导化为微分方程，求导前常先取 $x=0$ 得初值
- 对积分方程可反复求导逐步消去积分项，每步整理方程并同步确定初值条件
- 由导数定义的极限条件建立微分方程，如由极限式得 $f'(x)=2e^x+f(x)$ 再求解
反函数代换
- 由 $x=\varphi(y)$ 把 $y'$、$y''$ 用 $\frac{dx}{dy}$、$\frac{d^2x}{dy^2}$ 表示后代入原方程
- 特征根实部小于零时 $e^{rx}\to0$，据此判断反常积分 $\int_0^\infty y(x)dx$ 收敛并得 $\lim\limits_{x\to\infty}y(x)=0$
- 求 $\int_0^\infty y(x)dx$ 时结合原方程两端积分，用 $y(0)$、$y'(0)$ 及极限值化简求值
题型三 应用题（例1-4）
- 几何应用先设曲线 $y=f(x)$，把切线方程、面积、弧长等几何关系翻译成关于 $f$ 的方程
- 曲线在点 $(x,f(x))$ 处切线在 $y$ 轴上的截距为 $f(x)-xf'(x)$
- 由面积关系列方程时常对含变限积分的等式两端求导，化为一阶微分方程
- 用定积分表示曲边图形面积时注意上减下与积分上下限，据此建立方程
- 物理应用（如冷却）中变化率与温差成正比，建立 $\frac{dT}{dt}=k(T-T_0)$ 并分离变量求解
- 通解求出后必须用初始条件确定任意常数得特解，并结合实际意义对结果取舍
多元函数微分学
第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念、理论）
多元函数的概念
- 设 $D$ 是平面上的点集，若对 $D$ 内每一点 $(x,y)$ 按一定法则都有唯一确定的 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是 $x,y$ 的二元函数，记为 $z=f(x,y)$
- $D$ 称为函数的定义域，$x,y$ 称为自变量，$z$ 称为因变量
- 函数值的集合 $\{z\mid z=f(x,y),\ (x,y)\in D\}$ 称为值域
多元函数的极限
重极限的定义
- $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A$ 或 $\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}} f(x,y)=A$ 或 $\lim\limits_{P\to P_0} f(P)=A$
- 要求点以任意方式趋近于点$(x_0,y_0)$
极限的性质
局部有界性
- 若 $\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=A$，则存在 $P_0$ 的某去心邻域使 $f(P)$ 有界
保号性
- 若 $\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=A>0$，则存在去心邻域使 $f(P)>0$
有理运算
极限与无穷小的关系
- $\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=A\Leftrightarrow f(P)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为无穷小
夹逼性
- 若 $g(P)\le f(P)\le h(P)$ 且 $\lim g=\lim h=A$，则 $\lim f=A$
求重极限的常用方法
- 沿两条不同路径趋于极限不相等$\Rightarrow$重极限不存在（常取 $y=kx$、$y=kx^2$ 等路径）
判定极限为零的方法
夹逼
- 由 $\lim|x|=0$ 证 $\lim x=0$：利用 $0\le|f(P)|\le g(P)$ 且 $\lim g=0$，由夹逼性得 $\lim f=0$
- 求重极限时也常把 $|f|$ 适当放缩后再用夹逼性处理
无穷小$\times$有界量
- 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量：若 $\alpha\to0$ 而 $|g|$ 有界，则 $\alpha g\to0$
- 求重极限时常把函数写成无穷小量与有界量之积的形式，从而判定极限为零
多元函数的连续性
- $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$
连续函数的性质
- 连续函数的和差积商（分母不为0）仍为连续函数
- 连续函数的复合仍为连续函数
- 多元初等函数在其定义区域内连续
- 有界闭区域上的连续函数在区域上取得最大值最小值
- 有界闭区域上的连续函数取得最大值最小值之间的任何值
有界性
- 若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界
偏导数
定义
- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
- $f_x(x_0,y_0)$是一元函数$f(x,y_0)$在$x=x_0$处的导数值
- $f_x(x_0,y_0)$是曲面$z=f(x,y)$与平面$y=y_0$的交线在$x=x_0$处切线关于$x$轴的斜率
高阶偏导数
二阶与混合偏导数
二阶偏导数
- 一阶偏导数再对某变量求偏导，如 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)$、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
混合偏导数
- 先后对两个不同变量求偏导，如 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)$ 与 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$
混合偏导数相等的条件
- 二元以上函数，二阶或更高阶偏导数连续时，混合偏导数的值和求导次序无关
全微分
定义
- $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$
在区域内可微分
- 若函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一点都可微，则称 $f$ 在区域 $D$ 内可微
- 此时在 $D$ 内恒有 $\mathrm{d}z=f_x(x,y)\,\mathrm{d}x+f_y(x,y)\,\mathrm{d}y$
可微的必要条件
- $\mathrm{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$
- f（x，y）在（x，y）的两个一阶偏导数连续，则可微
定义判定可微性
- 判断两个一阶偏导数是否存在
判定是否为0
- $\lim\limits_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\dfrac{\left[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\right]-\left[f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$
可微和可导的关系
示意图
- 可微、可导、连续的关系。一元函数：可导$\Rightarrow$可微，可导$\Rightarrow$连续，可微与可导等价，连续不能推出可导；多元函数：可微$\Rightarrow$连续，可微$\Rightarrow$可偏导，一阶偏导数连续$\Rightarrow$可微，连续不能推出可偏导，可偏导不能推出连续
- （1）$f(x,y)=|x|+|y|$ 在 $(0,0)$ 点连续，但不可导（也不可微）
- （2）$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在 $(0,0)$ 点可导，但不连续
- （3）$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在 $(0,0)$ 点可导，但不可微
- （4）$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在 $(0,0)$ 点可微，但偏导数不连续
题型一 讨论连续性、可导性、可微性（例1-7）
判断连续性
- 验证 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，常用夹逼原理或沿特殊路径讨论
- 判断偏导存在用定义 $f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$，分段函数在分界点处必须用定义
判断可微
- 先看偏导是否存在，再验证 $\lim\limits_{\rho\to0}\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}=0$，其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
- 证明不可微常沿路径（如 $y=kx$、$\Delta y=k(\Delta x)^2$）计算极限，若结果与 $k$ 有关则不可微
概念关系
- 偏导连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 偏导存在，可微 $\Rightarrow$ 连续；反之均不成立
可微的充分条件
- $f$ 连续且 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$
由极限条件求全微分
- 先由连续性定 $f(x_0,y_0)$，再把条件写成 $f-f(P_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ 得 $A,B$
第二节 偏导数与全微分的计算
微分法
复合函数微分法
- $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x},\quad \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}$
全微分形式不变性
- $\mathrm{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\dfrac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\dfrac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$
隐函数微分法
一元隐函数
- $y'=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$
- $F$在$(x_0,y_0)$有连续偏导数，$F(x_0,y_0)=0$，$F_y(x_0,y_0)\ne 0$，则在点$(x_0,y_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数$y=f(x)$
二元隐函数
- $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F'_x}{F'_z},\quad \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F'_y}{F'_z}$
- $F$在$(x_0,y_0,z_0)$有连续偏导数，$F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，则在点$(x_0,y_0,z_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数$z=z(x,y)$
由方程组确定的隐函数
- 每个方程分别对x求偏导，可解得u、v关于x的两个偏导数
题型一 求一点处的偏导数与全微分（例1-4）
- 分段函数在分界点（如 $(0,0)$）处的偏导数一律用定义计算
- 求具体点处偏导数可用先代后求：先令 $y=y_0$ 得一元函数再求导，往往更简便
- 求具体点处的高阶偏导数也可先代后求，逐步降阶计算
- 求全微分 $df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$，需先分别求出各一阶偏导在该点的值
- 三元及以上函数求全微分时对各变量分别求偏导后代入该点
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分（例1-6）
具体显函数求偏导
- 对一个变量求导时把其余变量视为常数，用一元求导法则
- 幂指函数 $[f(x,y)]^{g(x,y)}$ 求偏导先化为 $e^{g\ln f}$ 或用对数求导法
- 由 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 求 $f$：对 $x$ 偏积分得 $f=\int P\,dx+\varphi(y)$，再由另一偏导或条件确定 $\varphi(y)$
- 由 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=g(x,y)$ 求 $z$：连续对 $x$、$y$ 积分两次，逐次引入任意函数并由条件确定
全微分判定
- $P\,dx+Q\,dy$ 为某函数全微分须 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，据此列方程求参数
- 求原函数 $u$ 用偏积分或凑微分（$du=d(\cdot)$），再用条件定常数
题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分（例1-10）
- 抽象复合函数用链式法则，先画变量关系树，再逐层求导
- 求二阶偏导时对中间变量（简记 $f_1,f_2$）继续求导，注意 $f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}$ 及 $f_{12}=f_{21}$
- 对等式两端求导时常令特定值（如 $x=0$）得方程组，联立求 $f_1,f_2$ 在该点的值
变量代换化简方程
- 设 $\xi=x+ay,\eta=x+by$，用链式法则把 $z_{xx},z_{xy},z_{yy}$ 用 $\xi,\eta$ 表示后比较系数定 $a,b$
- 由复合函数满足的方程反求 $f(u)$：先算 $z_{xx}+z_{yy}$ 等，代入得关于 $f$ 的常微分方程再解
利用对称性降维
- 极坐标下 $u_\theta=0$ 表示 $u$ 只与 $r$ 有关，令 $u=g(r)$ 简化
齐次函数结论
- $f(tx,ty)=t^n f(x,y)$ 等价于 $xf_x+yf_y=nf$
题型四 隐函数的偏导数与全微分（例1-6）
隐函数求导三法
- 公式法、等式两边求导法、微分形式不变性（对等式两端求微分）
- 由 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$ 时 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
- 求二阶偏导常对已得含 $z$ 的一阶表达式再求导，并把一阶结果回代
微分形式不变性
- 等式两端求微分后解出 $dz$，直接得到全微分与各偏导
方程组确定的隐函数
- 两边对自变量求导（或求微分）联立解出 $\frac{du}{dx},\frac{dv}{dx}$
- 含附加关系（如已知 $y=\sin x$）时要把 $dy$ 与该关系一并代入消元后再求解
第三节 极值与最值
极值和最值
无约束极值
极值的定义
- 设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点 $(x,y)$ 都有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$，则称 $P_0$ 为极大值点，$f(x_0,y_0)$ 为极大值
- 若 $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$，则称 $P_0$ 为极小值点，$f(x_0,y_0)$ 为极小值
- 极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值
- $z$在点$(x_0,y_0)$存在偏导数，且该点为极值点，则该点偏导数都等于$0$
极值的充分条件
- $A=f''_{xx}(x_0,y_0),\quad B=f''_{xy}(x_0,y_0),\quad C=f''_{yy}(x_0,y_0)$
若$AC-B^2>0$，则$(x_0,y_0)$为极值点
- 若$AC-B^2<0$，则$(x_0,y_0)$不为极值点
- 若AC-B^2=0，则不能确定，（需用定义判定）
求极值的步骤
- 求出所有驻点，利用极值充分条件判定驻点是否为极值点
- 找到偏导数不存在的点，用极值定义判定
条件极值
拉格朗日乘数法
- 求条件极值的方法：构造拉格朗日函数，令其对各变量的偏导数为零，解方程组得可能极值点
构造拉格朗日函数
- $F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$
构造方程组
- $\begin{cases}f'_x(x,y,z)+\lambda\varphi'_x(x,y,z)+\mu\psi'_x(x,y,z)=0,\\f'_y(x,y,z)+\lambda\varphi'_y(x,y,z)+\mu\psi'_y(x,y,z)=0,\\f'_z(x,y,z)+\lambda\varphi'_z(x,y,z)+\mu\psi'_z(x,y,z)=0,\\\varphi(x,y,z)=0,\\\psi(x,y,z)=0.\end{cases}$
- 解方程组，其中（x，y，z）就是可能极值点
条件极值在实际问题中的结论
- 对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最大（小）值，则该驻点即为最大（小）值点
- 如果存在多个驻点，且由实际意义知问题既存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点处的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值
最大最小值
求最值的步骤
- 求出f（x，y）在有界闭区域D内部可能的极值点
- 求f（x，y）在D的边界上的最大值最小值
比较
- 比较内部驻点处的函数值与在边界上求得的最大、最小值
- 其中最大者为 $f$ 在 $D$ 上的最大值，最小者为最小值
题型一 求无条件极值（例1-6）
- 先解方程组 $f_x=0,\,f_y=0$ 求出全部驻点
用充分条件判定
- 记 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$，$AC-B^2>0$ 且 $A<0$ 为极大值，$A>0$ 为极小值
- $AC-B^2<0$ 时非极值点；$AC-B^2=0$ 时需用极值定义判定
- 偏导数不存在的点也可能是极值点，需单独用定义讨论
- 由条件（极限、连续性）判断极值：用保号性写成 $f-f(P_0)$ 的符号，据定义判断
- 如由 $\lim\frac{f(x,y)}{\rho}=-1<0$ 得去心邻域内 $f<0$，而 $f(0,0)=0$，故为极大值
- 注意 $x^2+y^2$ 与 $xy$ 的高阶无穷小关系不可想当然，需验证极限是否存在
题型二 求最大最小值（例1-7）
- 有界闭域上求最值三部曲：求内部驻点、求边界上的最值、比较
- 边界最值可把边界方程代入化为无条件极值，或用拉格朗日乘数法
条件极值
- 构造 $F=f+\lambda g$，令各偏导为零联立求驻点
- 实际问题驻点唯一且最值存在时，该驻点即为最值点；多个驻点则比较函数值
- 距离类问题可改用距离平方作目标函数简化计算，也可借助平行切线的几何意义
- 带约束的最优化问题先判断约束是否起作用，不起作用时用无条件极值
证明不等式
- 把待证式化为某函数在给定约束下的最值问题，用条件极值求出最值即证
二重积分
第一节 概念与性质
性质
不等式性质
$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant\iint\limits_D g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
$D$上$m\le f(x,y)\le M$
- $m\sigma\leqslant\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant M\sigma$
绝对值不等式
- $\left|\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leqslant\iint\limits_D |f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$
中值定理
- f（x，y）在D上连续
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\sigma$
定义
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$
几何意义
- f>0，以区域D为底z=f（x，y）为顶的曲顶柱体体积
- f<0，二重积分的值为对应曲顶柱体体积的负值
第二节 计算
直角坐标计算
先y后x
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$
- $a\le x\le b$，$\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)$
先x后y
- 若积分域 $D$ 为 $Y$ 型区域，即 $D$ 可表示为 $c\le y\le d$，$\psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)$
- 则 $\iint\limits_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm{d}x$
- 即先对 $x$、后对 $y$ 的累次积分，与先 $y$ 后 $x$ 的方法同理，按积分域类型选用
极坐标计算
先r后θ
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r$
- $\alpha\le\theta\le\beta$，$\varphi_1(\theta)\le r\le\varphi_2(\theta)$
适合极坐标的被积函数
- $f(\sqrt{x^2+y^2}),f\left(\dfrac{y}{x}\right),f\left(\dfrac{x}{y}\right)$
适合极坐标的积分域
- $x^2+y^2\leqslant R^2;r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant R^2;x^2+y^2\leqslant 2ax;x^2+y^2\leqslant 2by$
函数的奇偶性计算
D关于y轴对称，f（x，y）关于x有奇偶性
- $\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{x\geqslant0}} f(x,y)\mathrm{d}\sigma,&f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为偶函数},\\0,&f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为奇函数}。\end{cases}$
D关于x轴对称，f（x，y）关于y有奇偶性
- 若积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $y$ 具有奇偶性
- 当 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为偶函数时：$\iint\limits_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=2\iint\limits_{D_{y\ge0}}f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma$
- 当 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为奇函数时：$\iint\limits_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=0$
轮换对称性计算
D的轮换对称性
- $\iint\limits_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_D f(y,x)\,\mathrm{d}\sigma$
- 积分域D关于y=x对称，也就是D的表达式中x、y互换后表达式不变
题型一 计算二重积分（例1-14）
先选坐标系
- 积分域为圆、扇形、圆环或被积函数含 $x^2+y^2$ 时优先用极坐标，否则用直角坐标
直角坐标定限
- 判断积分域是 $X$ 型还是 $Y$ 型，画图后按"先积后定限"化为累次积分，选内层易积的次序
利用对称性与奇偶性
- 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 为奇函数，则积分为 $0$；为偶函数则为一半域上积分的 $2$ 倍
- 利用变量对称性（轮换对称）：若交换 $x,y$ 后积分域不变，则 $\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_D f(y,x)\,dxdy$，常用来配凑简化
利用形心公式快速计算
- $\iint_D x\,dxdy=\bar x S$，$\iint_D y\,dxdy=\bar y S$，其中 $S$ 为 $D$ 的面积
- 被积函数含绝对值或为分段函数时，按零点或分段线把 $D$ 分块，再分别积分后相加
- 内层积分难以积出时，交换积分次序或改用极坐标以简化计算
题型二 累次积分交换次序及计算（例1-5）
- 交换次序第一步先画区域：由原累次积分的上下限写出积分域 $D$，再按另一种次序重新定限
直角坐标换序
- 在 $X$ 型与 $Y$ 型之间转换，内层上下限换成另一变量的函数表达式
极坐标换序
- 把 $(\theta,r)$ 当作直角坐标平面画出积分域后再交换 $dr\,d\theta$ 次序，注意 $r$ 的上下限
- 当原次序内层积不出来（如含 $e^{-y^2}$、$\dfrac{\sin y}{y}$）时，交换次序后往往可以积出
- 证明题中通过交换积分次序把两个累次积分合并为同一区域上的一个二重积分
题型三 与二重积分有关的综合题（例1-6）
变限二重积分求导
- 先交换积分次序化为变上限的一元定积分，再对上限求导
- 若二重积分本身为常数（如 $\iint_D f\,dxdy=A$），先设其为常数 $A$ 再代回原式解方程求 $A$
- 含 $\iint$ 的等式对变量求导可转化为微分方程，结合初值求出 $f(t)$
- $\dfrac{0}{0}$ 型极限可交换积分次序后用洛必达法则，或用二重积分中值定理处理
- 被积函数含 $f_x,f_y$ 时在极坐标下把二重积分化为边界积分（格林公式思想）来处理
- 涉及偏导数有界的不等式证明，用牛顿-莱布尼茨公式或拉格朗日中值定理，把 $f$ 用边界值与其偏导数表示
题型四 与二重积分有关的积分不等式问题（例1-4）
比较二重积分大小
- 同区域比较被积函数大小；被积函数非负时积分域越大积分值越大
- 放缩常用不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$、$|ab|\le\dfrac12(a^2+b^2)$ 等
- 证明两个一元积分之积的不等式：把积分之积写成矩形域上的二重积分，利用 $D$ 关于 $y=x$ 的对称性
- 用柯西积分不等式 $\left(\int_a^b fg\right)^2\le\int_a^b f^2\int_a^b g^2$ 证明
- 构造变上限辅助函数并求导判断单调性，从而证明不等式
- 利用 $f(x)f(y)$ 型被积函数在对称域上的重积分与一元积分平方之间的关系
无穷级数
第一节 常数项级数
级数的概念性质
级数的概念
- 设 $\{u_n\}$ 是一数列，表达式 $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 称为无穷级数，简称级数
- $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k$ 称为级数的部分和
- 若部分和数列 $\{S_n\}$ 有极限 $S$，即 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$，则称级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，$S$ 称为它的和
- 若 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ 不存在，则称级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散
性质
- $\sum u_n$收敛于$S$，则$\sum ku_n$收敛于$kS$
- $\sum u_n$和$\sum v_n$分别收敛于$S$和$T$，$\sum(u_n\pm v_n)$收敛于$S\pm T$
- $\sum u_n$收敛$\sum v_n$发散，则$\sum(u_n\pm v_n)$发散
- $\sum u_n$和$\sum v_n$都发散，则$\sum(u_n\pm v_n)$敛散性不确定
- 级数增删改有限项不改变敛散性
加括号的性质
- 加括号收敛，原级数不一定收敛
- 加括号发散，原级数一定发散
收敛的必要条件
- $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$
- $u_n$极限为$0$，级数不一定收敛
- $u_n$极限不为$0$，级数一定发散
级数的审敛准则
正项级数
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\ u_n\geqslant0$
比较判别法
$u_n\le v_n$
- $\sum v_n$收敛$\Rightarrow\sum u_n$收敛
- $\sum u_n$发散$\Rightarrow\sum v_n$发散
比较法极限形式
$\lim(u_n/v_n)=l(0\le l\le+\infty)$
- $0<l<+\infty$，则u、v同敛散
- $l=0$，$\sum v_n$收敛$\Rightarrow\sum u_n$收敛，$\sum u_n$发散$\Rightarrow\sum v_n$发散
- $l=+\infty$，$\sum v_n$发散$\Rightarrow\sum u_n$发散，$\sum u_n$收敛$\Rightarrow\sum v_n$收敛
比值法
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$
根值法
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$
积分判别法
$f(x)$在$[1,+\infty)$单调减、非负、连续，$a_n=f(n)$
$\sum a_n$与之同敛散
- $\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$
常用对比级数
p级数
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$
- $p>1$时收敛，$p\le1$时发散
等比级数
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty}aq^n$
- 等比级数 $\sum aq^n\ (a\ne0)$：$|q|<1$ 收敛，$|q|\ge1$ 发散
注意
正项级数收敛的基本定理
- 对于正项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\,(u_n\geqslant0)$，其敛散性由其部分和数列 $\{S_n\}$ 的敛散性决定
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有界
交错级数
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,\ u_n>0$
莱布尼兹准则
- $u_n$单调减且$\lim u_n=0\Rightarrow$交错级数收敛
- 该准则是充分条件，不是必要条件
任意项级数
绝对收敛和条件收敛
- $\sum|u_n|$收敛，则$\sum u_n$必收敛，称$\sum u_n$绝对收敛
- $\sum u_n$收敛，但$\sum|u_n|$发散，称$\sum u_n$条件收敛
基本结论
- 绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的正、负项级数
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 条件收敛 $\Rightarrow\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n+|u_n|}{2}$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{u_n-|u_n|}{2}$ 发散
补充
- 绝对收敛+条件收敛=条件收敛
- 绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛
- 条件收敛+条件收敛=收敛（绝对或条件）
题型一 正项级数敛散性的判定（例1-4）
先验必要条件
- 通项 $u_n\not\to 0$ 时级数立即发散
- 通项含 $n$ 次方、阶乘、连乘时用比值法或根值法；$\rho=1$ 时失效，需改用其他方法
- 通项为 $n$ 的幂或有理式时用比较判别法（或其极限形式），以 $p$ 级数、等比级数作为基准
- 通项含 $\ln n$ 且对应函数非负、单调减少、连续时用积分判别法，与反常积分同敛散
- 结合等价无穷小、泰勒展开与常用不等式（如 $\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$）放缩通项
- 比较法极限形式 $\lim\dfrac{u_n}{v_n}=l$：$0<l<+\infty$ 时同敛散；$l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛则 $\sum u_n$ 收敛；$l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散则 $\sum u_n$ 发散
- 参数取临界值时须单独讨论，可用单调性与部分和判断
题型二 交错级数敛散性的判定（例1-2）
优先用莱布尼茨准则
- 验证 $\{u_n\}$ 单调减少且 $\lim u_n=0$
- 判断 $\{u_n\}$ 单调性可构造函数求导，或由通项变形直接比较
- 形如 $\sin\left(\pi\sqrt{n^2+a^2}\right)$ 的通项应先利用三角函数的周期性分离出 $(-1)^n$
- 莱布尼茨准则是充分条件而非必要条件，不能用它判定级数发散
- 综合题可结合反证法与根值法判断变形后级数的敛散性
题型三 任意项级数敛散性的判定（例1-8）
- 先考察绝对值级数 $\sum|u_n|$：若收敛则原级数绝对收敛
- 若 $\sum|u_n|$ 发散，再用莱布尼茨准则等判定原级数是否条件收敛
常用结论
- 绝对收敛$\pm$条件收敛$=$条件收敛；绝对收敛$\pm$绝对收敛$=$绝对收敛；条件收敛$\pm$条件收敛$=$收敛（条件或绝对）
- 放缩常借助 $|ab|\le\dfrac12(a^2+b^2)$、$x^2+y^2\ge 2xy$ 等不等式
- 含参数时按 $|a|$ 与临界值 $1$ 的大小分类讨论
易错点
- 等价无穷小代换只适用于正项级数，对变号的任意项级数不能随意使用
- 由 $\sum(-1)^n a_n 2^n$ 收敛得 $|a_n|\le\dfrac{M}{2^n}$，再用比较法证明 $\sum a_n$ 绝对收敛
题型四 证明题与综合题（例1-6）
- 级数 $\sum(a_{n+1}-a_n)$ 部分和可裂项，收敛即 $\{a_n\}$ 收敛，且和为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}-a_1$
- 由 $\sum(a_{n+1}-a_n)$ 收敛推出 $\{a_n\}$ 有界，再用比较判别法证 $\sum a_nb_n$ 绝对收敛
- 证 $\sum a_n^2$ 收敛：由 $na_n$ 有界得 $a_n$ 可与 $\dfrac1n$ 作比较
- 递推数列先证极限存在（单调有界）及数列有界，再研究相关级数
- 方程根问题先证唯一正根并估计其范围（如 $0<x_n<\dfrac1n$），再用比较判别法证级数收敛
- 用泰勒公式或洛必达法则把 $f\left(\dfrac1n\right)$ 与 $\dfrac{1}{n^p}$ 作比较以判定绝对收敛
第二节 幂级数
幂级数的概念、性质与展开
定义
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$
定理
阿贝尔定理
- $\sum a_nx^n$在$x=x_0$收敛，则$|x|<|x_0|$时$\sum a_nx^n$绝对收敛
- $\sum a_nx^n$在$x=x_0$发散，则$|x|>|x_0|$时$\sum a_nx^n$发散
幂级数收敛性可能
- $x\in(-\infty,+\infty)$都收敛
- 仅x=0时收敛
存在收敛半径的情形
收敛半径、收敛区间与收敛域
- 其中正数 $R$ 称为幂级数的收敛半径，开区间 $(-R,R)$ 称为收敛区间
- 再考察 $x=\pm R$ 处的收敛性，与收敛区间合并即得收敛域（级数收敛点的全体）
- 若$\sum a_nx^n$在$x=x_0$条件收敛，则$R=|x_0|$
比值法
- R=1/ρ
- $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$
根值法
- R=1/ρ
- $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$
缺项级数的收敛半径
性质
有理运算性质
有理运算的收敛半径
加减
- $\sum a_nx^n\pm\sum b_nx^n=\sum(a_n\pm b_n)x^n$，$x\in(-R,R)$
乘法
- $a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0)x^n+\cdots,\ x\in(-R,R)$
除法
- $\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n,\quad x\in(-R,R)$
- $c_n\,(n=0,1,2\cdots)$ 由 $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)\cdot\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 所确定
分析性质
和函数的分析性质
连续性
可导性
- $S(x)$在收敛区间可导，且可逐项求导，求导后的幂级数与原幂级数收敛半径相同
- $S'(x)=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1},\,(|x|<R)$
可积性
- $S(x)$在收敛区间可积，且可逐项积分，积分后的幂级数与原幂级数收敛半径相同
- $\int_0^xS(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^x\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}$
函数的幂级数展开
定义（幂级数展开）
$f(x)$在$(x_0-R,x_0+R)$内有定义，且可以表示成右侧幂级数，则称$f(x)$能在区间$(x_0-R,x_0+R)$展开成$x-x_0$的幂级数
- $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
定理（幂级数展开）
幂级数展开的唯一性
- $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(n=0,1,2,\cdots)$
定义（泰勒级数）
泰勒级数与麦克劳林级数
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
定理（泰勒级数）
能展开成泰勒级数的条件
展开成泰勒级数的充要条件
- 则 $f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数 $\Leftrightarrow$ 其余项 $R_n(x)$ 满足 $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x)=0$（如拉格朗日余项的极限为 $0$）
- 此时 $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
- 拉格朗日余项的极限=0
常用展开式
- （1） $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$ $(-1<x<1).$
- （2） $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$ $(-1<x<1).$
- （3） $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ $(-\infty<x<+\infty).$
- （4） $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $(-\infty<x<+\infty).$
- （5） $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ $(-\infty<x<+\infty).$
- （6） $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$ $(-1<x\le1).$
- （7） $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n$
- $(-1<x<1,\text{区间端点展开式是否成立由 }a\text{ 的值确立})$
展开方法
直接展开
- 求出$f(x)$在$x_0$处的各阶导数，并写出$f(x)$在$x=x_0$处的泰勒级数
- 考察拉格朗日余项是否趋于0
间接展开
题型一 求收敛区间及收敛域（例1-3）
- 先求收敛半径 $R$，再单独判断端点处级数的敛散性，合并得到收敛域
公式法
- 由 $\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ 或 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$ 得 $R=\dfrac1\rho$
- 缺项级数（只有偶次项或奇次项）不能用上述公式，需直接对 $|x-x_0|$ 求解，或分别考虑奇偶项构成的级数
- 系数未给出时用阿贝尔定理，由已知的收敛点与发散点确定收敛半径
- 系数如 $[3+(-1)^n]^n$ 无极限时，拆成奇、偶项级数分别求收敛半径再取交集
- 端点处化为数项级数单独判定敛散性
题型二 将函数展开为幂级数（例1-4）
一般用间接展开法
- 从 $e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x),(1+x)^\alpha$ 等基本展开式出发，经四则运算、逐项求导、逐项积分、变量代换得到
- 在 $x=x_0\ne 0$ 处展开时换元 $t=x-x_0$，化为 $t$ 的幂级数
- 有理分式先裂项（部分分式），再用 $\dfrac{1}{1-x}$、$\ln(1+x)$ 等展开
- 求 $f^{(n)}(0)$：利用麦克劳林级数系数的唯一性比较系数，$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$
- 展开式须写出成立范围（收敛域），并注意端点是否包含
- 直接展开法需验证余项 $R_n(x)\to 0$，主要用于推导基本展开式
题型三 级数求和（例1-5）
- 幂级数求和先求收敛域，在收敛区间内求和，端点和函数值用连续性取极限单独处理
- 消去系数中的 $n$ 用逐项求导；系数含 $\dfrac1n,\dfrac1{n+1}$ 用逐项积分
- 常数项级数求和借助幂级数：写出 $\sum a_nx^n$ 求其和函数 $S(x)$，再代入 $x=b$ 得 $\sum a_nb^n=S(b)$
- 利用 $e^x\pm e^{-x}$ 等组合求奇偶项级数（如 $\sum\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$）
- 递推数列先求收敛半径，再建立和函数的函数方程（如微分方程）并求解
- 记住常用结论如 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$（$-1\le x<1$）
第三节 傅里叶级数
傅里叶级数的系数、收敛定理与展开
傅里叶系数与傅里叶级数
傅里叶系数
- $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\ n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x,\ n=1,2,\cdots$
傅里叶级数
- $f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
狄利克雷收敛定理
- $f(x)$在$[-\pi,\pi]$连续或只有有限个第一类间断点，且最多只有有限个极值点，则$f(x)$的傅里叶级数在$[-\pi,\pi]$处处收敛
- $x$是连续点，$S(x)=f(x)$
- $x$为间断点，$S(x)=(f(x^-)+f(x^+))/2$
- $x$为$\pm\pi$，$S(x)=(f(-\pi^+)+f(\pi^-))/2$
周期$2\pi$的函数展开
$[-\pi,\pi]$上展开
- $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x,\quad n=1,2,\cdots$
$[-\pi,\pi]$上奇偶函数展开
奇函数
- $a_n=0,\quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x,\quad n=1,2,\cdots$
偶函数
- $a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n=0,\quad n=1,2,\cdots$
$[0,\pi]$上展开
展开为正弦
- $a_n=0,\quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x,\quad n=1,2,\cdots$
展开为余弦
- $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = 0, \quad n=1,2,\cdots$
周期2l的函数展开
[-l，l]上展开
- $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=1,2,\cdots$
$[-l,l]$上奇偶函数展开
奇函数
- $a_n = 0, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=1,2,\cdots$
偶函数
- $a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = 0, \quad n=1,2,\cdots$
$[0,l]$上展开
展开为正弦
- $a_n = 0, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=1,2,\cdots$
展开为余弦
- $a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x, \quad n=0,1,2,\cdots,$
- $b_n = 0, \quad n=1,2,\cdots$
题型一 有关收敛定理的问题（例1-4）
由狄利克雷收敛定理
- 在连续点收敛于 $f(x)$，在间断点收敛于 $\dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$
- 周期端点 $x=\pm l$ 处收敛于 $\dfrac{f(-l^+)+f(l^-)}{2}$
- 求某点的和函数值，只需看 $f$ 在该点处的左右极限以及该点是否连续或间断
- 正弦级数（奇延拓）对应奇和函数 $S(-x)=-S(x)$；余弦级数（偶延拓）对应偶和函数 $S(-x)=S(x)$
- 在 $[0,l]$ 上给定函数时，先作奇/偶延拓再按周期 $2l$ 展开
- 利用周期性把任意点化到基本区间内再计算
题型二 将函数展开为傅里叶级数（例1-3）
两步走
- 先按公式求傅里叶系数 $a_n,b_n$ 写出级数，再用狄利克雷收敛定理说明其收敛情况
- 奇函数只算 $b_n$（正弦级数），偶函数只算 $a_n$（余弦级数），可把积分区间减半
- 在 $[0,l]$ 上展正弦用奇延拓 $b_n=\dfrac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}\,dx$，展余弦用偶延拓
- 周期区间不对称（如 $[5,15]$）时先作周期延拓，利用周期函数积分可平移积分区间
- 用展开式在特殊点（如 $x=0$）的收敛值求数项级数和（如 $\sum\dfrac{1}{(2n+1)^2}$）
- 周期为 $2l$ 时三角因子为 $\dfrac{n\pi x}{l}$，注意系数前的 $\dfrac1l$ 因子
向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用
第一节 向量代数
数量积
运算规律
交换律
- $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$
分配律
- $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$
几何应用
求模
- $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$
求夹角
- $\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|}$
判定向量垂直
- $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$
几何表示
- $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\cos\alpha$
代数表示
- $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
向量积
几何表示
- $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\sin\alpha$
运算规律
分配律
- $\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}$
反交换律
- $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a})$
几何应用
求同时垂直于两向量的向量
- $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$
求以两向量为邻边的平行四边形面积
- $S=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|$
判定两向量平行
- $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
代数表示
- $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$
混合积
运算规律
轮换对称性
- $(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{c}\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})$
交换变号
- $(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})=-(\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}\boldsymbol{b})$
几何应用
- $V_{\text{平行六面体}}=|(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})|$
- $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\ \text{共面}\Leftrightarrow(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})=0$
定义
- $(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$
代数表示
- $(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$
向量的坐标表示、单位向量与方向余弦
- 向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式为 $\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}=\{a_x,a_y,a_z\}$
- 向量的模 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
- 与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量 $\boldsymbol{e}_a=\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$
- 方向余弦 $\cos\alpha=\dfrac{a_x}{|\boldsymbol{a}|},\ \cos\beta=\dfrac{a_y}{|\boldsymbol{a}|},\ \cos\gamma=\dfrac{a_z}{|\boldsymbol{a}|}$，且 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$
- 方向数 $a_x:a_y:a_z$
向量的线性运算
- 向量的加、减与数乘称为线性运算，均按坐标分量分别进行
- 向量平行的充要条件是存在常数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$，即对应坐标成比例
向量的投影
- 向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 $\mathrm{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta$，$\theta$ 为两向量的夹角
- 由数量积得 $\mathrm{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$
题型一 向量运算（例1-3）
混合积有轮换对称性
- $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$，可循环搬移向量
- 含多个叉积相乘时用分配律全部展开，凡含相同向量（如 $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$）或共线向量的项为 $0$，只保留循环项
- 重要恒等式 $|\vec{a}\times\vec{b}|^2+(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$，用于已知模与数量积求叉积模
- 由 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 先求夹角余弦，再由 $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ 求模
- 坐标计算叉积写成行列式 $\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$
- 判定垂直用 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$；判定平行用 $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$
题型二 向量运算的应用及向量的位置关系（例1-2）
- 与 $\vec{a},\vec{b}$ 夹角相等的内角平分线方向向量取两单位向量之和 $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$，外角平分线取差
- 由模（长度）条件 $|\vec{c}|=k$ 列方程定出待定系数 $\lambda$，再写出目标向量
- 三点 $A,B,C$ 共线 $\iff \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vec{0}$，其中 $\overrightarrow{AB}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{r_3}-\vec{r_1}$
- 证明含矢径的向量恒等式：用叉积分配律展开，并利用 $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$ 化简
- 三向量共面判定用混合积为零 $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0$
- 求同时垂直于两向量的向量，取二者叉积 $\vec{a}\times\vec{b}$
第二节 空间平面与直线
平面方程
点法式
- $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
截距式
- $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
一般式
- $Ax+By+Cz+D=0, \quad \boldsymbol{n}=\{A,B,C\}$
直线方程
- $\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases}$
- $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
- $x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$
平面与直线的关系
线线、线面、面面关系所用的向量
直线与直线
- 用两直线的方向向量 $\boldsymbol{s}_1,\boldsymbol{s}_2$ 判定平行、垂直与夹角
直线与平面
- 用直线的方向向量 $\boldsymbol{s}$ 与平面的法向量 $\boldsymbol{n}$
平面与平面
- 用两平面的法向量 $\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2$
- 平行、垂直、夹角问题都归结为方向向量、法向量之间的运算
平行、垂直、夹角
- 向量平行 $\Leftrightarrow$ 叉积为零，向量垂直 $\Leftrightarrow$ 数量积为零
直线与直线
- 平行 $\boldsymbol{s}_1\times\boldsymbol{s}_2=\boldsymbol{0}$，垂直 $\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2=0$
直线与平面
- 平行 $\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0$，垂直 $\boldsymbol{s}\parallel\boldsymbol{n}$
平面与平面
- 平行 $\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=\boldsymbol{0}$，垂直 $\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0$
夹角
- 线线 $\cos\theta=\dfrac{|\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{s}_2|}$，线面 $\sin\theta=\dfrac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|}$，面面 $\cos\theta=\dfrac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}$
点到面的距离
- $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
点到直线的距离
直线对称式
- $d=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times(l,m,n)|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$
题型一 建立直线方程（例1-2）
- 设方向向量 $\vec{s}=(l,m,n)$，由垂直条件 $\vec{s}\cdot\vec{s_i}=0$（或平行条件）列方程求解，再代定点写对称式 $\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$
- 求与两条已知直线都垂直的直线，方向向量直接取 $\vec{s}=\vec{s_1}\times\vec{s_2}$
- 直线与已知平面平行 $\iff \vec{s}\cdot\vec{n}=0$（$\vec{n}$ 为平面法向量）
与已知直线相交的问题
- 设所求直线参数式代入已知直线方程消参求解；或先求交点再用两点式
- 直线可表为两张辅助平面（如过定点且垂直于各已知直线的平面）的交线
- 用平面束方程 $F+\lambda G=0$ 表示过已知直线的所有平面，由附加条件定 $\lambda$
- 对称式分母某分量为 $0$ 时不能约去，应保留分式并对应分子为 $0$
题型二 建立平面方程（例1-2）
- 核心是求法向量 $\vec{n}$ 与一个已知点，用点法式 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
- 平面平行或包含两条已知直线时，取 $\vec{n}=\vec{s_1}\times\vec{s_2}$
- 平面含已知直线且垂直于另一平面 $\sigma$ 时，取 $\vec{n}=\vec{s}\times\vec{n_\sigma}$
- 平面过原点则常数项 $D=0$；点在平面上即坐标满足平面方程
- 点 $P$ 与两方向共面 $\iff (\overrightarrow{OP},\vec{s_1},\vec{s_2})$ 的混合积为 $0$
- 过已知直线 $\begin{cases}F=0\\G=0\end{cases}$ 的平面可设为平面束 $F+\lambda G=0$，由附加条件定 $\lambda$
题型三 与平面和直线位置关系有关的问题（例1-2）
- 两直线共面（相交）$\iff$ 混合积 $(\vec{s_1},\vec{s_2},\overrightarrow{AB})=0$，$A,B$ 为两直线上各取的一点
- 两异面直线的距离 $d=\dfrac{|(\vec{s_1},\vec{s_2},\overrightarrow{AB})|}{|\vec{s_1}\times\vec{s_2}|}$
直线与平面
- 平行 $\vec{s}\cdot\vec{n}=0$，垂直 $\vec{s}\parallel\vec{n}$，夹角由 $\sin\theta=\dfrac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$ 定
- 求与两直线都垂直且相交的直线：方向取 $\vec{s_1}\times\vec{s_2}$，再求分别过 $L_1,L_2$ 且平行于该方向的平面，两平面交线即所求
- 判定共面后把两直线参数式联立，求出交点坐标
- 点到平面距离 $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$；点到直线距离 $d=\dfrac{|\overrightarrow{M_0M_1}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}$
第三节 曲面与空间曲线
曲面方程
- $F(x,y,z)=0$ 或 $z=f(x,y)$
空间曲线
- $\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t). \end{cases}$
- $\begin{cases} F(x,y,z)=0, \\ G(x,y,z)=0. \end{cases}$
常见曲面
旋转面
平面曲线绕平面上直线旋转
旋转面
- 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面，该定直线称为旋转轴
旋转面方程的求法
- 旋转过程中点到轴的距离保持不变，据此把母线方程中相应变量换成该点到轴的距离表达式即可得旋转面方程
yOz 平面上的曲线方程
- $\begin{cases} f(y,z)=0, \\ x=0, \end{cases}$
L绕y轴旋转
- $f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0$
L绕z轴旋转
- $f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$
柱面
准线为坐标面内曲线
- $\Gamma:\begin{cases} f(x,y)=0 \\ z=0, \end{cases}$
- $f(x,y)=0$
准线为两曲面交线
- $\begin{cases} F(x,y,z)=0, \\ G(x,y,z)=0, \end{cases}$
消元
定义
二次曲面
椭圆锥面
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
圆锥面
椭球面
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
球面
单叶双曲面
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
双叶双曲面
- $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
椭圆抛物面
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
旋转抛物面
双曲抛物面（马鞍面）
- $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
空间曲线投影
投影柱面
投影曲线方程
- $\begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0. \end{cases}$
题型一 建立柱面方程（例1-2）
- 母线平行于 $z$ 轴的柱面方程不含 $z$，由准线两方程消去 $z$ 得 $H(x,y)=0$
- 母线平行于 $x$（或 $y$）轴时方程分别不含 $x$（或 $y$），即消去 $x$（或 $y$）
求柱面
- 设准线动点与母线上任一点，利用母线方向与准线的关系建立方程，消去参数得柱面方程
- 柱面方程只含两个变量，第三个变量任意取值表示母线平行于其对应坐标轴
- 判断 $H(x,y)=0$ 表示母线平行于 $z$ 轴的柱面
题型二 建立旋转面方程（例1-2）
平面曲线绕坐标轴旋转
- 绕 $x$ 轴把 $y^2$ 换成 $y^2+z^2$；绕 $y$ 轴把 $x^2$ 换成 $x^2+z^2$；绕 $z$ 轴把 $y^2$ 换成 $x^2+y^2$
- 绕哪个坐标轴旋转，该轴变量保持单独出现（不被改写），另两变量以其平方和形式出现
空间曲线绕轴旋转
- 设旋转面上任一点 $(x,y,z)$ 对应母线上点 $(x_0,y_0,z_0)$，轴上坐标不变、到轴距离相等，列方程消去 $x_0,y_0,z_0$
- 直线绕轴旋转所得为旋转锥面（或柱面），仍用“到轴距离不变”建立关系并消参
题型三 求空间曲线的投影曲线方程（例1）
- 投影到 $xOy$ 面：由曲线两方程消去 $z$ 得投影柱面 $H(x,y)=0$，投影曲线为 $\begin{cases}H(x,y)=0\\ z=0\end{cases}$
- 投影到 $yOz$ 面消去 $x$；投影到 $xOz$ 面消去 $y$
- 投影曲线是投影柱面与对应坐标平面的交线
- 由原曲线确定投影中各变量的取值范围
第四节 多元函数微分在几何上的应用
切平面与法线
隐式曲面的法向量
- $\boldsymbol{n}=(F'_x,F'_y,F'_z)$
显式曲面的法向量
- $\boldsymbol{n}=(f'_x,f'_y,-1)$
曲线的切线与法平面
参数式曲线的切向量
- $\boldsymbol{\tau}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$
一般式曲线的切向量
- $\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2$，其中 $\boldsymbol{n}_1=(F'_x,F'_y,F'_z),\boldsymbol{n}_2=(G'_x,G'_y,G'_z)$
题型一 建立曲面的切平面和法线方程（例1-4）
- 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在 $M_0$ 的法向量 $\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)|_{M_0}$
- 曲面 $z=f(x,y)$ 在 $M_0$ 的法向量取 $\vec{n}=(f_x,f_y,-1)|_{M_0}$
- 切平面方程 $\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$；法线为过 $M_0$、以 $\vec{n}$ 为方向的对称式
- 求切平面在坐标轴上的截距 $a,b,c$，其与三个坐标面围成四面体体积 $V=\dfrac16|abc|$，再求最值
证明曲面为柱面
- 证任一点处法向量与某定向量垂直，即 $(\nabla F)\cdot\vec{a}=0$
含参数问题
- 由点或平行条件把切平面（法线）方程代入，列方程解出参数
- 注意区分“在点处”与“过点”的切平面，后者切点需待定
题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程（例1-2）
- 参数式曲线 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 的切向量 $\vec{t}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$
- 一般式（两曲面交线）曲线 $\begin{cases}F=0\\G=0\end{cases}$ 的切向量 $\vec{t}=\nabla F\times\nabla G$（两曲面法向量的叉积）
切线方程
- 过 $M_0$ 以 $\vec{t}$ 为方向向量；法平面方程：$\vec{t}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$
- 先由点的坐标或条件确定参数 $t_0$，再求切向量
- 用行列式计算 $\nabla F\times\nabla G$，并在给定点处取值
第五节 方向导数与梯度
方向导数
- $\left.\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{(x_0,y_0)}=\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$
- 当 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微时，$\left.\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{(x_0,y_0)}=f'_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f'_y(x_0,y_0)\cos\beta$，其中 $\cos\alpha,\cos\beta$ 为方向 $l$ 的方向余弦
梯度
- 设 $z=f(x,y)$ 可微，则 $\mathbf{grad}\,z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\boldsymbol{i}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\boldsymbol{j}$
- 梯度是一个向量，其方向是函数在该点方向导数最大的方向，其模等于方向导数的最大值
题型一 方向导数与梯度的计算（例1-5）
- 方向导数 $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\nabla u\cdot\vec{e_l}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\dfrac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\dfrac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$，$\vec{e_l}$ 为 $l$ 方向的单位向量
计算步骤
- 先求梯度 $\nabla u|_{M_0}$，再把方向向量单位化取方向余弦，最后点乘
- 给定 $\overrightarrow{AB}$ 时方向单位向量为 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$
- 梯度方向是方向导数最大的方向，最大值为 $|\nabla u|$
- 沿 $x$ 轴负方向的方向导数为 $-\dfrac{\partial u}{\partial x}$，负号易错
- 偏导数存在不一定方向导数存在；$\nabla u\cdot\vec{e_l}$ 公式要求函数在该点可微
- 在不可微点求方向导数须回到定义（极限式）计算
多元函数积分学及其应用
第一节 三重积分与线面积分
三重积分
计算
直角坐标
先一后二
- $\Omega$ 由曲面 $z=z_1(x,y)$（下）与 $z=z_2(x,y)$（上）围成，其在 $xOy$ 面的投影为区域 $D_{xy}$，$D_{xy}$ 由 $a\leqslant x\leqslant b$、$y_1(x)\leqslant y\leqslant y_2(x)$ 确定
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\iint\limits_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,\mathrm{d}z$
先二后一
- $\Omega$ 由平面 $z=c_1$、$z=c_2$ 之间对每个 $z$ 的截面 $D_z$ 围成，$z$ 从 $c_1$ 到 $c_2$
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\int_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
柱坐标
- 点 $M(x,y,z)$ 对应 $(r,\theta,z)$，其中 $r$ 为 $M$ 在 $xOy$ 面投影 $P(r,\theta,0)$ 到原点 $O$ 的距离，$\theta$ 为 $OP$ 与 $x$ 轴正向的夹角
- $\begin{cases}x=r\cos\theta, & 0\leqslant r<+\infty,\\ y=r\sin\theta, & 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi,\\ z=z, & -\infty<z<+\infty.\end{cases}$
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\iiint\limits_{\Omega} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$
适用函数
- $g(z)f(\sqrt{x^2+y^2})=g(z)f(r)$
适用区域
球坐标
- 点 $M$ 对应 $(r,\varphi,\theta)$，其中 $r=|OM|$，$\varphi$ 为 $OM$ 与 $z$ 轴正向的夹角，$\theta$ 为 $OM$ 在 $xOy$ 面的投影 $OP$ 与 $x$ 轴正向的夹角
- $\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta, & 0\leqslant r<+\infty,\\ y=r\sin\varphi\sin\theta, & 0\leqslant\varphi\leqslant\pi,\\ z=r\cos\varphi, & 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi.\end{cases}$
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\iiint\limits_{\Omega} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta$
适用函数
- $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})=f(r)$
适用区域
奇偶性
积分域关于xOy坐标面对称
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\begin{cases}2\iiint\limits_{D_{z\geqslant 0}} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v, & f(x,y,z)\text{ 关于 }z\text{ 是偶函数},\\ 0, & f(x,y,z)\text{ 关于 }z\text{ 是奇函数}.\end{cases}$
轮换对称性
- 积分域表达式交换两变量积分域不变
- 则被积函数可以交换这两变量
定义
- $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\lim\limits_{d\to 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta v_k$
性质
曲线积分
弧长线积分（第一类线积分）
性质
- 与积分路径方向无关
- $\int_{L(\widehat{AB})}f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{L(\widehat{BA})}f(x,y)\,\mathrm{d}s$
计算方法（平面）
直接法
若L由参数方程给出
- $L:\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}\alpha\leqslant t\leqslant\beta,$
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f[x(t),y(t)]\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\mathrm{d}t$
若$L$由 $y=y(x)$ 给出
- $L:y=y(x),a\leqslant x\leqslant b,$
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_a^b f[x,y(x)]\sqrt{1+y'^2(x)}\,\mathrm{d}x$
若$L$由 $r=r(\theta)$ 给出
- $L:r=r(\theta),\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta,$
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2}\,\mathrm{d}\theta$
奇偶性
若积分曲线L关于y轴对称
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\begin{cases}2\int_{L_{x\geqslant 0}}f(x,y)\,\mathrm{d}s, & \text{当 }f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为偶函数},\\ 0, & \text{当 }f(x,y)\text{ 关于 }x\text{ 为奇函数}.\end{cases}$
若积分曲线L关于x轴对称
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\begin{cases}2\int_{L_{y\geqslant 0}}f(x,y)\,\mathrm{d}s, & \text{当 }f(x,y)\text{ 关于 }y\text{ 为偶函数},\\ 0, & \text{当 }f(x,y)\text{ 关于 }y\text{ 为奇函数}.\end{cases}$
对称性
- 若积分曲线L关于y=x对称
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_L f(y,x)\,\mathrm{d}s$
特别
- $\int_L f(x)\,\mathrm{d}s=\int_L f(y)\,\mathrm{d}s$
计算方法（空间）
- $\int_L f(x,y,z)\,\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\,\mathrm{d}t$
定义
- $\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$
坐标线积分（第二类线积分）
性质
- 与积分路径方向有关
- $\int_{L(\widehat{AB})}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=-\int_{L(\widehat{BA})}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$
计算方法（平面）
直接法
- $L:\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]$
- $\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}\,\mathrm{d}t$
格林公式
适用条件
- $\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$
利用线积分与路径无关
线积分与路径无关的判定
P（x，y）、Q（x，y）在单连通域D上有一阶连续偏导数，下面4点等价
- ① 线积分$\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$与路径无关
- ② $\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$，其中$L$为$D$中任一分段光滑闭曲线
- ③ $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，$\forall(x,y)\in D$
- ④ $P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\mathrm{d}F(x,y)$
计算
改换路径计算
- 改为平行于坐标轴的路径
- $\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{x_1}^{x_2}P(x,y_1)\,\mathrm{d}x+\int_{y_1}^{y_2}Q(x_2,y)\,\mathrm{d}y$
- $\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{y_1}^{y_2}Q(x_1,y)\,\mathrm{d}y+\int_{x_1}^{x_2}P(x,y_2)\,\mathrm{d}x$
利用原函数计算
设Pdx+Qdy=dF（x，y），即F（x，y）是Pdx+Qdy的原函数
- $\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1)$
求原函数方法
计算方法（空间）
直接法
- $x=x(t),y=y(t),z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$
- $\int_L P(x,y,z)\,\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\,\mathrm{d}y+R(x,y,z)\,\mathrm{d}z=\int_\alpha^\beta\{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\}\,\mathrm{d}t$
斯托克斯公式
- $\oint_L P(x,y,z)\,\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\,\mathrm{d}y+R(x,y,z)\,\mathrm{d}z=\iint_\Sigma\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}\mathrm{d}S=\iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
曲面交平面
两类积分的联系
- $\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\oint_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s$
定义
- $\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$
曲面积分
面积分（第一类面积分）
性质
计算方法
奇偶性
曲面关于 $xOy$ 面对称
- $\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\begin{cases}2\iint_{\Sigma_{z\geqslant0}}f(x,y,z)\,\mathrm{d}S, & \text{当 }f(x,y,z)\text{ 关于 }z\text{ 为偶函数},\\ 0, & \text{当 }f(x,y,z)\text{ 关于 }z\text{ 为奇函数}.\end{cases}$
对称性
- 积分曲面变量可以互换不改变积分域
- 则积分式变量也可以互换
计算公式
- $\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\iint_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
定义
- $\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$
坐标面积分（第二类面积分）
定义
- $\iint_\Sigma P(x,y,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz},$
- $\iint_\Sigma Q(x,y,z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx},$
- $\iint_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$
性质
计算方法
有向曲面
- 有向曲面$\Sigma:z=z(x,y)$，$\iint_\Sigma R(x,y,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$
- $\Sigma$法线向量与$z$轴正向夹角锐角取正，否则取负
高斯公式
- $\oint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_\Omega\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v$，$\Sigma$ 取外侧
补面高斯公式
- 当积分曲面 $\Sigma$ 不闭合时，补一块辅助有向曲面 $\Sigma_1$，使 $\Sigma+\Sigma_1$ 围成闭区域 $\Omega$
- 对闭曲面 $\Sigma+\Sigma_1$ 用高斯公式：$\oint_{\Sigma+\Sigma_1}P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_\Omega\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v$
- 再减去所补曲面上的积分：$\iint_{\Sigma}=\iint_{\Sigma+\Sigma_1}-\iint_{\Sigma_1}$，注意 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma$ 取外侧方向
两类积分的联系
- $\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S=\iint_\Sigma(P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$
题型一 计算三重积分（例1-6）
直角坐标两种次序
- 先一后二（先对 $z$ 后对 $xy$）、先二后一（先作截面积分再对单变量积分），依积分域形状选择
柱坐标
- $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$，适合柱体、旋转体
球坐标
- $dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$，适合球域或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$
奇偶性
- $\Omega$ 关于 $xOy$ 面对称时，$f$ 关于 $z$ 为奇函数积分为 $0$，偶函数为上半部分的两倍
变量对称性
- 积分域对称时 $\iiint x^2\,dv=\iiint y^2\,dv=\iiint z^2\,dv$，可化简
- 形心公式 $\iiint x\,dv=\bar{x}\cdot V$，用于快速计算单个变量的一次积分
- 交换三重累次积分次序时，通常逐步交换二重积分次序来实现
题型二 计算对弧长的线积分（例1-4）
- 第一类线积分与曲线方向无关
直接法
- 参数式 $ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt$；平面直角坐标 $ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$；极坐标 $ds=\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta$
奇偶性
- 曲线关于 $y$ 轴对称，被积函数关于 $x$ 为奇函数则积分为 $0$，偶函数为两倍
变量对称性
- 曲线方程关于 $x,y$ 对称时 $\int_L x\,ds=\int_L y\,ds$，用于化简复杂项
- 形心公式 $\int_L x\,ds=\bar{x}\cdot l$（$l$ 为弧长）
- 空间曲线一般化为参数式定积分计算
- 可利用曲线方程本身代入以化简被积函数
题型三 计算对坐标的线积分（例1-9）
- 第二类线积分与方向有关，反向变号 $\int_{-L}=-\int_L$
直接法
- $\int_L P\,dx+Q\,dy=\int_\alpha^\beta[P x'(t)+Q y'(t)]\,dt$
格林公式
- $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,d\sigma$，$L$ 取正向（逆时针）
补线用格林公式
- 非闭路径补辅助线成闭曲线再减去补线段积分，注意各段方向
- 路径无关判定（单连通域）：$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ $\iff$ 积分与路径无关 $\iff$ 存在原函数 $dF=P\,dx+Q\,dy$ $\iff$ 任意闭路积分为 $0$
- 计算可用改换路径（常取平行坐标轴的折线），或求原函数使积分 $=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1)$（偏积分或凑微分）
- 域内有奇点时不能直接用格林公式：挖去奇点作小闭曲线，绕奇点的闭路积分相等，常借曲线方程化简分母
- 空间曲线用直接法，或斯托克斯公式 $\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_\Sigma\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}dS$（$L$ 与 $\Sigma$ 满足右手法则）
题型四 计算对面积的面积分（例1-2）
- 第一类面积分与曲面的侧（方向）无关
直接法三步
- 一投（投影到坐标面）、二代（代入曲面方程）、三换（$dS$ 换成投影面积元）
- 若 $\Sigma:z=z(x,y)$，则 $dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy$
奇偶性
- $\Sigma$ 关于 $xOy$ 面对称，$f$ 关于 $z$ 奇则积分为 $0$，偶则为两倍
变量对称性
- 形心公式 $\iint_\Sigma x\,dS=\bar{x}\cdot S$，可简化计算
题型五 计算对坐标的面积分（例1-7）
- 第二类面积分与曲面的侧有关，改侧变号
直接法
- $\iint_\Sigma R\,dx\,dy$ 中曲面取上侧（法向与 $z$ 轴正向成锐角）为正，下侧为负；$dy\,dz,dz\,dx$ 按前后侧、左右侧同理定号
高斯公式
- $\oiint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint_\Omega(P_x+Q_y+R_z)\,dv$，$\Sigma$ 取外侧（内侧变号）
补面用高斯公式
- 非闭曲面补辅助面（常取平面）构成闭曲面，再减去补面上的积分，注意补面所取的侧
- 不满足高斯公式条件（被积函数无连续偏导）时，可化为第一类面积分或挖去奇点处理
两类面积分联系
- $\iint P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iint(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,dS$
- 用对称性、奇偶性判断某些分量积分为 $0$ 以简化
第二节 多元函数积分应用
质量、质心、转动惯量
质量
- $m=\iint_D\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma$，$m=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}v$，$m=\int_C f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$，$m=\iint_\Sigma\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}S$
质心
- $\bar{x}=\frac{\iint_D x\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}{\iint_D\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}$，$\bar{x}=\frac{\iiint_\Omega x\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}v}{\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}v}$，$\bar{x}=\frac{\int_C x\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}s}{\int_C\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}s}$，$\bar{x}=\frac{\iint_\Sigma x\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}S}{\iint_\Sigma\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}S}$
转动惯量
- $I_x=\iint_D y^2\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma$，$I_x=\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}v$，$I_x=\int_C(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}s$，$I_x=\iint_\Sigma(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}S$
变力做功
- $W=\int_{\widehat{AB}}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z$
通量
- $\Phi=\iint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
形心
- 形心是几何形体的几何中心；当物体质量分布均匀（$\rho$ 为常数）时，其质心即形心
- 均匀平面域的形心 $\bar{x}=\dfrac{\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma}{\iint_D\mathrm{d}\sigma},\ \bar{y}=\dfrac{\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma}{\iint_D\mathrm{d}\sigma}$
- 均匀空间体、曲线段、曲面片的形心坐标只需在相应质心公式中取 $\rho\equiv 1$ 即得
引力
- 两质点间引力的大小 $F=\dfrac{k}{r^2}$，其中 $k>0$ 与两质点质量之积成正比，$r$ 为两质点间距离
- 引力方向沿两质点的连线，指向施力质点
- 分布物体对质点的引力为向量，其大小和方向由重积分、曲线积分或曲面积分求出
题型一 求几何量（例1-3）
- 平面图形面积 $S=\iint_D d\sigma$，也可用线积分或格林公式表示
- 立体体积 $V=\iiint_\Omega dv$，可用投影（先一后二）或截面积分（先二后一）
- 曲面面积 $S=\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy$（其它投影方向类似）
- 弧长（曲线长）$l=\int_L ds$
- 利用对称性只求部分再乘倍数（如第一卦限部分乘以 $4$）
求几何量最值
- 建立目标函数（体积、面积表达式），用微分法或条件极值求极值点
- 选合适坐标系（柱坐标、球坐标）简化计算
题型二 计算物理量（例1-6）
- 质量 $m=\iiint_\Omega\rho\,dv$（或 $\iint_D\rho\,d\sigma$、$\int_L\rho\,ds$、$\iint_\Sigma\rho\,dS$）
质心（形心）
- $\bar{x}=\dfrac{\iiint x\rho\,dv}{\iiint\rho\,dv}$，均匀体取 $\rho=1$
- 转动惯量 $I=\iiint r^2\rho\,dv$，$r$ 为点到轴（面、点）的距离；绕直线时用点到直线距离公式
- 变力做功 $W=\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz$（力场 $\vec{F}=(P,Q,R)$）
- 通量 $\Phi=\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$
- 利用对称性（关于某坐标面对称）使质心某一坐标分量为 $0$，简化计算
求物理量最值
- 写出物理量表达式后用条件极值或均值不等式求最大（如功最大）
第三节 场论初步
散度
- PQR均有一阶连续偏导数
- $\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度
- PQR均有一阶连续偏导数
- $\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$
题型一 梯度、散度、旋度计算（例1-4）
梯度是向量
- $\operatorname{grad}u=(u_x,u_y,u_z)$
散度是数量
- $\operatorname{div}\vec{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$
旋度是向量
- $\operatorname{rot}\vec{A}=\nabla\times\vec{A}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}$，注意行列式各行的排列
求某点处的值
- 恒等式 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)=\vec{0}$（梯度场无旋），可借用化简
- 对径向函数 $f(r)$（$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$）：$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\dfrac{\vec{r}}{r}$，$\operatorname{div}[\operatorname{grad}f(r)]=f''(r)+\dfrac{2}{r}f'(r)$
- 由 $\operatorname{div}[\operatorname{grad}f(r)]=0$ 得常微分方程 $f''(r)+\dfrac{2}{r}f'(r)=0$，解出 $f$