概率论与数理统计 思维导图（公式已转 LaTeX，KaTeX 渲染）

• 概率论与数理统计

  • 第一章 随机事件和概率

    • 两个基本原理

      • 乘法原理

        • 完成某事需要 $k$ 个步骤，每一步分别有 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 种方法，则完成此事共有 $A_1A_2\cdots A_k$ 种方法
      • 加法原理

        • 完成某事有 $k$ 类办法，每一类分别有 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 种方法，则完成此事共有 $A_1+A_2+\cdots+A_k$ 种方法
    • 排列、组合

      • 排列

        • 从 $n$ 个不同元素中任取 $r$ 个（$0<r\le n$）按一定顺序排成一列，其个数记为 $A_n^r$
        • 不放回抽样：$A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)$；当 $r=n$ 时 $A_n^n=n!$，称为全排列
        • 有放回抽样（有重复的排列）：方法数为 $n^r$
      • 组合

        • 从 $n$ 个不同元素中任取 $r$ 个（$0\le r\le n$）不计顺序拼成一组，记为 $C_n^r$
        • 计算公式：$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$；性质：$C_n^r=C_n^{n-r}$
    • 随机试验 $E$

      • 满足以下三个条件的试验称为随机试验
      • 可以在相同的条件下重复地进行
      • 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
      • 可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
    • 样本空间

      • 样本点 $\omega$：随机试验的每一个可能的结果
      • 样本空间 $\Omega$：所有样本点组成的集合
    • 随机事件

      • 随机事件：样本空间 $\Omega$ 的子集，用大写字母 $A,B,C$ 表示
      • 基本事件：由一个样本点组成的单点集
      • 事件发生：当且仅当事件中有一个样本点出现
      • 必然事件：$\Omega$ 在每次试验中总发生，记为 $\Omega$
      • 不可能事件：$\varnothing$ 在每次试验中都不发生，记为 $\varnothing$
    • 随机事件的关系

      • 包含关系：$A\subset B$，表示 $A$ 发生一定导致 $B$ 发生
      • 事件相等：若 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则 $A=B$
      • 和事件 $A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ 或 } x\in B\}$，表示 $A,B$ 至少有一个发生，记为 $A+B$
      • 积事件 $A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\in B\}$，表示 $A,B$ 同时发生，记为 $AB$
      • 差事件 $A-B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\notin B\}$，表示 $A$ 发生且 $B$ 不发生，记为 $A\bar B$
      • 互斥事件（互不相容）：当 $AB=\varnothing$ 时，$A,B$ 不能同时发生
      • 对立事件（逆事件）：若 $A\cup B=\Omega$ 且 $A\cap B=\varnothing$，则 $A,B$ 互为对立，$A$ 记作 $\bar A$
      • 完全（备）事件组：$A_1,\dots,A_n$ 两两互不相容且并为 $\Omega$，是样本空间的一个划分
      • 对立一定互斥，但互斥不一定对立
    • 随机事件的运算律

      • 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
      • 结合律：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$，$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
      • 分配律：$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
      • 对偶律（德摩根律）：$\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B$，$\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$
    • 古典概型与几何概型

      • 古典概型

        • 定义：样本空间有限 $\Omega=\{e_1,e_2,\dots,e_n\}$，且等可能 $P(e_1)=P(e_2)=\cdots=P(e_n)$
        • 计算方法：$P(A)=\frac{A \text{ 中基本事件的个数}}{\Omega \text{ 中基本事件总数}}$
        • 性质：非负性 $0\le P(A)\le 1$，规范性 $P(\varnothing)=0$、$P(\Omega)=1$
        • 性质：有限可加性，两两互不相容时 $P(A_1\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+\dots+P(A_n)$
      • 几何概型

        • 定义：从线段（或平面、空间中有界区域）$\Omega$ 任取一点，落在测度相等的子区域内的可能性相同
        • 计算公式：$P(A)=\frac{A \text{ 的长度（面积、体积）}}{\Omega \text{ 的长度（面积、体积）}}$
        • 使用场景：区间（区域）内随机取数或取点、时间段内随机到达、取值概率与长度（面积）成正比
        • 一个变量用长度比，两个变量用面积比；与长度成正比用长度比，与面积成正比用面积比
    • 概率的公理化定义及性质

      • 概率的公理化定义

        • 非负性：$P(A)\ge 0$；规范性：$P(\Omega)=1$
        • 可列可加性：$A_1,A_2,\dots$ 两两互不相容时 $P(A_1\cup A_2\cup\dots)=P(A_1)+P(A_2)+\dots$
      • 概率的性质

        • 非负性：$0\le P(A)\le 1$；规范性：$P(\varnothing)=0$，$P(\Omega)=1$
        • 逆事件的概率：$P(\bar A)=1-P(A)$
        • 可比性：若 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$ 且 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
        • 减法公式：$P(B-A)=P(B\bar A)=P(B)-P(AB)$
        • 加法公式：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
        • 三事件加法公式：$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$
        • 概率为 $0$ 的事件不一定是不可能事件，概率为 $1$ 的事件不一定是必然事件
    • 条件概率及其性质

      • 条件概率的定义

        • 设 $P(A)>0$，$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的条件概率
      • 条件概率的性质

        • 非负性：$P(B\mid A)\ge 0$；规范性：$P(\Omega\mid A)=1$
        • 可列可加性：$P(B_1\cup B_2\cup\dots\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)+\dots$
        • 逆事件的概率：$P(\bar B\mid A)=1-P(B\mid A)$
        • 加法公式：$P(B_1+B_2\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)-P(B_1B_2\mid A)$
      • 乘法公式

        • 两个事件：若 $P(A)>0$，则 $P(AB)=P(B\mid A)P(A)$
        • 三个事件：若 $P(AB)>0$，则 $P(ABC)=P(C\mid AB)P(B\mid A)P(A)$
      • 抽签原理

        • 各次取到某物品的概率相同，与取物（抓阄）的先后次序无关
    • 全概率公式与贝叶斯公式

      • 全概率公式

        • 设 $A_1,\dots,A_n$ 为完全事件组且 $P(A_i)>0$，则 $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)$
        • 本质：用完全事件组将复杂事件分解为若干简单事件，是解决复杂事件概率的重要思维
        • 使用场景：试验分两阶段，第一阶段结果未知但所有可能结果已知，求第二阶段某个结果的概率
      • 贝叶斯公式

        • 设 $A_1,\dots,A_n$ 为完全事件组，$P(B)>0$，$P(A_i)>0$，则 $P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B\mid A_j)}$
        • 使用场景：已知第二阶段某结果发生的概率，求其受第一阶段某结果影响的概率，本质是求条件概率
    • 事件的独立性

      • 两个事件的独立性

        • 定义：若 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称 $A,B$ 相互独立
        • 本质：一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率
        • 独立与互斥的关系：独立推不出互斥，互斥也推不出独立；对非零概率事件，独立一定不互斥，互斥一定不独立
        • 概率为 $0$ 或 $1$ 的事件与任何事件都独立
      • 两个事件独立的性质

        • 若 $A,B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\bar B$、$\bar A$ 与 $B$、$\bar A$ 与 $\bar B$ 也相互独立
        • 四对事件中只要一对独立，其余三对也独立
      • 两个事件独立的等价说法

        • 若 $0<P(A)<1$，则 $A,B$ 独立 $\Leftrightarrow P(B)=P(B\mid A) \Leftrightarrow P(B)=P(B\mid\bar A) \Leftrightarrow P(B\mid A)=P(B\mid\bar A)$
      • 三个事件的两两独立性

        • $P(AB)=P(A)P(B)$，$P(AC)=P(A)P(C)$，$P(BC)=P(B)P(C)$
      • 三个事件的相互独立性

        • 两两独立之外还需 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$
        • 相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立
    • n 重伯努利概型及概率计算

      • 定义：只有两个结果 $A$ 和 $\bar A$ 的试验称为伯努利试验；独立重复进行 $n$ 次称为 $n$ 重伯努利试验
      • 二项概率公式：$P(A_k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,1,2,\dots,n$
      • 应用关键：确定试验次数 $n$ 与每次事件发生的概率 $p$
    • 题型一 事件的关系与运算

      • 方法要点

        • 事件的关系：包含 $A\subset B$、相等 $A=B$、和 $A\cup B$、积 $A\cap B$、差 $A-B=A\bar B$
        • 互斥 $AB=\varnothing$；对立 $A\cup B=\Omega$ 且 $AB=\varnothing$；完全事件组是样本空间的一个划分
        • 运算律：交换律、结合律、分配律、德摩根律 $\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B$，$\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$
        • 用已知事件表示复合事件：至少一个发生用和、同时发生用积、恰有一个发生用 $A\bar B+\bar A B$
        • 对偶律的运用：$\overline{BC}=\bar B\cup\bar C$
      • 精选例题

        • 例1.1 由 $A=BC$ 得 $\bar A=\bar B\cup\bar C$，即“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
        • 例1.2 $A\cup B=B$ 等价于 $A\subset B$、$\bar B\subset\bar A$、$A\bar B=\varnothing$，不等价于 $AB=\varnothing$
    • 题型二 概率的性质

      • 方法要点

        • 非负性 $0\le P(A)\le 1$；规范性 $P(\varnothing)=0$，$P(\Omega)=1$
        • 逆事件的概率 $P(\bar A)=1-P(A)$，是解决复杂事件概率的重要思维
        • 可比性：若 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$ 且 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
        • 互斥与对立的关系：对立一定互斥，互斥不一定对立
        • 概率为 $0$ 的事件不一定是不可能事件，概率为 $1$ 的事件不一定是必然事件
        • 概率不等式：$AB\subset A\subset A+B$，故 $P(AB)\le P(A)\le P(A+B)$
      • 精选例题

        • 例1.3 若 $AB\subset C$，则 $P(C)\ge P(A)+P(B)-1$
        • 例1.4 当 $P(B)>0$ 时 $P(A-B)=P(A)-P(AB)\ge P(A)-P(B)$
        • 例1.5 由 $P(A\cup B)=1$ 且 $P(A)=P(B)=\frac12$ 得 $P(AB)=0$，故 $P(\bar A\cup\bar B)=1$
        • 例1.6 $A,B$ 互不相容则 $P(A\cup B)=1$
    • 题型三 计算事件的概率

      • 方法要点

        • 古典概型：$P(A)=\frac{A \text{ 中基本事件个数}}{\Omega \text{ 中基本事件总数}}$，常用排列组合数数
        • 几何概型：$P(A)=\frac{A \text{ 的长度（面积、体积）}}{\Omega \text{ 的长度（面积、体积）}}$
        • 计算概率的五大公式：加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯公式
        • 计算复杂事件的两个重要思维：逆事件思维与全概率思维
        • 全概率公式适用：试验分两阶段，第一阶段结果未知但所有可能结果已知
        • 独立性考点：独立与互斥的关系、概率为 $0$ 或 $1$ 的事件与任何事件独立、判定事件独立性
      • 精选例题

        • 例1.7 由 $P(\bar A\bar B)=\frac19$ 及 $P(A\bar B)=P(B\bar A)$ 得 $P(A)=\frac23$
        • 例1.9 由三事件加法公式求 $P(A+B+C)$
        • 例1.10 由 $P(A\bar B\cup\bar A B)=0.3$ 且 $P(A)+P(B)=0.5$ 得 $P(AB)=0.1$，故 $P(\bar A\cup\bar B)=0.9$
        • 例1.13 逐个检查恰在第 5 个查出第 3 个次品，用乘法公式
        • 例1.15 有放回取球直到三种颜色都取到，取球次数恰为 4 的概率
        • 例1.16 用抽签原理求第二人取得黄球的概率
        • 例1.17 全概率公式求白球概率，贝叶斯公式求该球属于第二个箱子的概率
        • 例1.18 用几何概型求两数之差的绝对值小于某值的概率
        • 例1.21 甲、乙独立射击，求目标被命中时由甲射中的概率（贝叶斯）
        • 例1.28 两两独立时 $A,B,C$ 相互独立的充要条件是 $A$ 与 $BC$ 独立
    • 题型四 伯努利概型

      • 方法要点

        • 伯努利试验：只有两个结果 $A$ 和 $\bar A$；$n$ 重伯努利试验是独立重复进行 $n$ 次
        • 二项概率公式：$P(A_k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\dots,n$
        • 应用关键：确定试验次数 $n$ 与每次事件发生的概率 $p$
        • $A$ 至少发生一次的概率为 $1-(1-p)^n$，至多发生一次的概率为 $(1-p)^n+np(1-p)^{n-1}$
      • 精选例题

        • 例1.31 求 $A$ 至少发生一次与至多发生一次的概率
        • 例1.32 由至少成功一次条件下全部成功的概率求每次成功概率 $p$
        • 例1.33 先用全概率公式求能出厂概率 $p=0.94$，再用二项概率公式求 $\alpha,\beta,\gamma$
  • 第二章 一维随机变量及其分布

    • 随机变量

      • 定义

        • 在样本空间 $\Omega=\{e\}$ 上定义的一个实值单值函数 $X=X(e)$，称为随机变量
        • 随机变量常用大写字母 $X,Y,Z$ 表示，其取值通常用小写字母 $x,y,z$ 等表示
      • 分类

        • 离散型随机变量
        • 连续型随机变量
        • 既非离散型也非连续型随机变量
    • 随机变量的分布函数

      • 定义

        • 设 $X$ 是随机变量，对任意实数 $x$，令 $F(x)=P\{X\le x\}$（$-\infty<x<+\infty$），称 $F(x)$ 为 $X$ 的分布函数
      • 利用分布函数求各种随机事件的概率

        • $P\{X\le a\}=F(a)$
        • $P\{X>a\}=1-F(a)$
        • $P\{X<a\}=\lim\limits_{x\to a^-}F(x)=F(a-0)$
        • $P\{X\ge a\}=1-F(a-0)$
        • $P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$
        • $P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)$
        • $P\{a\le X<b\}=F(b-0)-F(a-0)$
        • $P\{a<X<b\}=F(b-0)-F(a)$
        • $P\{a\le X\le b\}=F(b)-F(a-0)$
      • 性质

        • ① 非负性：$0\le F(x)\le 1$
        • ② 规范性：$F(-\infty)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1$
        • ③ 单调不减性：对任意 $x_1<x_2$，有 $F(x_1)\le F(x_2)$
        • ④ 右连续性：$F(x_0)=F(x_0+0)$
        • 四条性质是判定分布函数的充要条件；含未知参数时常用性质②④确定参数
    • 一维离散型随机变量及其概率分布

      • 定义

        • 若随机变量 $X$ 的取值是有限个或可列无穷多个，则称 $X$ 为离散型随机变量
      • 分布律

        • 设 $X$ 所有可能取值为 $x_1,x_2,\cdots$，且 $P\{X=x_k\}=p_k$，$k=1,2,\cdots$
        • 非负性与规范性：$p_k\ge 0$，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}p_k=1$
        • 计算分布律三步：定取值、算概率、验证 1
      • 分布函数

        • 由分布律求分布函数时，以取值点为分段点，区间左闭右开
        • 由分布函数求分布律：$P\{X=x_k\}=F(x_k)-F(x_k-0)$
      • 常见的离散型分布

        • 二项分布

          • 设事件 $A$ 每次出现概率为 $p$（$0<p<1$），$X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中 $A$ 发生的次数
          • $P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\cdots,n$
          • 记作 $X\sim B(n,p)$
          • 期望 $E(X)=np$，方差 $D(X)=np(1-p)$
          • 背景：$n$ 次独立重复试验中成功的次数；失败的次数 $n-X\sim B(n,1-p)$
        • 0-1 分布

          • $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}$，$k=0,1$，$0<p<1$
          • 期望 $E(X)=p$，方差 $D(X)=p(1-p)$
          • 是 $n=1$ 的二项分布，即 $X\sim B(1,p)$
        • 泊松分布

          • $P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda>0$
          • 记作 $X\sim P(\lambda)$
          • 期望 $E(X)=\lambda$，方差 $D(X)=\lambda$
        • 几何分布

          • $P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p$，$0<p<1$，$k=1,2,\cdots$
          • 背景：独立重复试验直到成功为止的试验次数
        • 超几何分布

          • $P\{X=k\}=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$，$k=0,1,2,\cdots$
          • $M,N,n$ 为正整数，$n\le M\le N$，记作 $X\sim H(n,M,N)$
          • 背景：$N$ 件产品中含 $M$ 件次品，任取 $n$ 件中的次品数
      • 泊松定理

        • 设 $\lambda>0$ 为常数，$n$ 为任意正整数，$\lambda=np$，则对任一固定非负整数 $k$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
        • 本质：$n$ 较大、$p$ 相对较小时用泊松分布近似二项分布，$\lambda\approx np$
    • 一维连续型随机变量及其概率分布

      • 定义

        • 若存在非负可积函数 $f(x)$，使对任意实数 $x$，有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$，则称 $X$ 为连续型随机变量
        • $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，其定义域为 $(-\infty,+\infty)$
        • 连续型随机变量的分布函数 $F(x)$ 是连续函数
        • 连续型随机变量在任意一点取值的概率为 $0$
      • 概率密度的性质

        • ① 非负性：$f(x)\ge 0$
        • ② 规范性：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$
        • ③ $P\{a<X\le b\}=P\{a\le X<b\}=P\{a<X<b\}=P\{a\le X\le b\}=\int_a^b f(x)\,dx$
        • ④ 在 $f(x)$ 的连续点处 $F'(x)=f(x)$
        • 性质①②是判定一个函数是否为密度函数的充要条件
      • 常见的连续型分布

        • 均匀分布

          • 密度 $f(x)=\frac{1}{b-a}$（$a\le x\le b$），其他为 $0$，记作 $X\sim U(a,b)$
          • 分布函数 $F(x)=\frac{x-a}{b-a}$（$a\le x<b$）
          • 期望 $E(X)=\frac{a+b}{2}$，方差 $D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
          • 对应几何概型，可用有效长度与总长度之比求概率
        • 指数分布

          • 密度 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x>0$），$x\le 0$ 时为 $0$
          • $\lambda>0$ 为参数，记作 $X\sim E(\lambda)$
          • 分布函数 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x\ge 0$）
          • 期望 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差 $D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$
          • 无记忆性：$P\{X>s+t\mid X>t\}=P\{X>s\}$
        • 正态分布

          • 密度 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，$-\infty<x<+\infty$，记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
          • 期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)=\sigma^2$
          • 密度图像关于 $x=\mu$ 对称
          • 标准正态分布

            • 当 $\mu=0,\sigma=1$ 时称标准正态分布，记作 $X\sim N(0,1)$，密度记为 $\varphi(x)$，分布函数记为 $\Phi(x)$
            • 性质：$\varphi(-x)=\varphi(x)$，$\Phi(0)=\frac{1}{2}$，$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
            • 若 $X\sim N(0,1)$，则 $P\{|X|\le a\}=2\Phi(a)-1$
          • 上 $\alpha$ 分位点

            • 设 $X\sim N(0,1)$，对给定 $\alpha$（$0<\alpha<1$），若 $u_\alpha$ 满足 $P\{X>u_\alpha\}=\alpha$，则称 $u_\alpha$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点
          • 标准化

            • 若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
    • 一维随机变量函数的分布

      • 一维离散型随机变量函数的分布

        • 设 $P\{X=x_k\}=p_k$，$k=1,2,\cdots$，$Y=g(X)$ 取值为 $g(x_k)$ 的概率 $P\{Y=g(x_k)\}=p_k$
        • 若 $g(x)$ 出现相同的函数值，则将其相应概率之和作为 $Y$ 取该值的概率
      • 一维连续型随机变量函数的分布

        • 求 $Y=g(X)$ 的概率分布一般用分布函数法
        • 先求分布函数 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}$，再对 $y$ 求导得密度 $f_Y(y)=F_Y'(y)$
        • 讨论 $y$ 的范围：将 $f_X(x)$ 的分段点代入 $g(x)$，并求 $g(x)$ 在 $f_X(x)>0$ 区间上的最值，用这些点将数轴分段
        • 结论：若 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 单调增加，则 $Y=F(X)$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布
    • 题型一 分布函数的概念与性质

      • 方法要点

        • 已知分布函数求某事件概率，用分布函数的概率公式
        • 求分布函数中的未知参数，用性质②或④
        • 判定函数是否为分布函数，逐一验证四条性质
        • 设 $F_1,F_2$ 均为分布函数，若 $a\ge 0,b\ge 0$ 且 $a+b=1$，则 $aF_1+bF_2$ 一定为分布函数
      • 精选例题

        • 例2.2 $F=aF_1+bF_2$ 为分布函数需 $a+b=1$
        • 例2.3 $F(x)$ 为分布函数，则 $F(x-1)$ 也一定为分布函数
    • 题型二 一维离散型随机变量及其分布

      • 方法要点

        • 计算分布律三部曲：定取值、算概率、验证 1
        • 分布律中未知参数可用 $\sum p_k=1$ 解决
        • 二项分布背景：$n$ 次独立重复试验成功的次数，先找参数 $n$ 和 $p$
        • 泊松分布的关键是熟记分布律与数字特征，由条件确定参数 $\lambda$
        • 几何分布背景：直到成功为止的试验次数，确定参数 $p$
        • 泊松定理本质：用泊松分布近似代替二项分布，$\lambda\approx np$
      • 精选例题

        • 例2.5 由 $\sum p_k=1$ 求分布律中的参数
        • 例2.7 对 $X$ 进行 $n$ 次独立重复观测，观测值不大于 0.1 的次数服从二项分布
        • 例2.9 有放回抽取直到出现 2 白 2 黑，抽取次数 $X$ 的分布
        • 例2.10 首次成功所需试验次数（几何分布）取偶数的概率
    • 题型三 一维连续型随机变量及其分布

      • 方法要点

        • 已知密度函数求分布函数：$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$
        • 密度函数中未知参数可用规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$ 求解
        • 判定函数是否为密度函数，验证性质①②
        • 已知密度函数求事件概率，用性质③
        • 求密度函数通常先求分布函数，再用 $F'(x)=f(x)$
        • 正态分布解题步骤：标准化、利用对称性、查表计算
      • 精选例题

        • 例2.11 由规范性确定密度中的常数
        • 例2.15 $f_1F_2+f_2F_1$ 必为概率密度
        • 例2.17 指数分布与二项分布结合求参数
        • 例2.19 $P\{|X-\mu|<\sigma\}$ 与 $\sigma$ 的大小无关
        • 例2.22 电源电压正态分布与全概率公式综合
        • 例2.23 正态分布、二项分布与泊松近似综合
    • 题型四 一维随机变量函数的分布

      • 方法要点

        • 分布函数法：先求 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$，再对 $y$ 求导得 $f_Y(y)=F_Y'(y)$
      • 精选例题

        • 例2.24 $Y=F(X)$ 的分布函数
        • 例2.25 由 $X$ 的密度求 $Y$ 的密度函数
        • 例2.27 $Y=\min\{X,2\}$ 的分布函数
        • 例2.28 分段密度函数求 $Y$ 的分布函数及概率
        • 例2.29 区间随机取点，求较短段长度与比值的概率密度
    • 题型五 计算随机变量的分布

      • 方法要点

        • 计算复杂事件概率的两个重要思维：逆事件思维与全概率思维；离散型与连续型混合时，将离散取值看成完全事件组用全概率公式
      • 精选例题

        • 例2.30 绝对值不大于 1 且子区间条件概率与长度成正比，求分布函数
        • 例2.31 混合分布：$Y\mid X=i$ 服从均匀分布，用全概率公式求 $Y$ 的分布函数
        • 例2.32 泊松过程相邻两次故障时间间隔 $T$ 服从指数分布，并求条件概率
  • 第三章 多维随机变量及其分布

    • 基础知识

      • 一 二维随机变量的概念

        • 设 $X=X(e)$，$Y=Y(e)$ 是定义在样本空间 $\Omega=\{e\}$ 上的两个随机变量，则称向量 $(X,Y)$ 为二维随机变量
      • 二 二维随机变量的分布函数及其性质

        • （一）分布函数定义

          • $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 称为 $(X,Y)$ 的分布函数，或称 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数
        • （二）分布函数的性质

          • 非负性：对任意实数 $x,y$ 有 $0\le F(x,y)\le 1$
          • 规范性：$F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$
          • 单调不减性：$F(x,y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 单调不减
          • 右连续性：$F(x,y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 右连续，即 $F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)$
      • 三 二维随机变量的边缘分布函数

        • $F_X(x)=F(x,+\infty)$，$F_Y(y)=F(+\infty,y)$ 分别为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数
      • 四 随机变量 X 和 Y 的独立性

        • 定义：若对所有的 $x,y$ 有 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立
        • 已知 $(X,Y)$ 的分布函数时，先求两个边缘分布函数，再验证乘积关系是否成立
        • 分布函数未知时，通常判定不独立：找到一对 $x_0,y_0$ 使 $P\{X\le x_0,Y\le y_0\}\ne P\{X\le x_0\}P\{Y\le y_0\}$
        • 若 $X,Y$ 相互独立，则 $f(X)$ 与 $g(Y)$ 也相互独立，其中 $f,g$ 均为连续函数
      • 五 二维离散型随机变量及其概率分布

        • （一）定义

          • 若 $(X,Y)$ 的可能取值为有限对或可列无穷多对实数，则称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量
        • （二）分布律

          • $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$（$i,j=1,2,\cdots$），通常用表格形式表示
        • （三）边缘分布律

          • $P\{X=x_i\}=\sum_j p_{ij}=p_{i\cdot}$，$P\{Y=y_j\}=\sum_i p_{ij}=p_{\cdot j}$
        • （四）条件分布律

          • 在 $Y=y_j$ 的条件下 $X$ 的条件分布律为 $P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$
          • 在 $X=x_i$ 的条件下 $Y$ 的条件分布律为 $P\{Y=y_j\mid X=x_i\}=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$
          • 已知一个边缘分布律和一个条件分布律，相乘即得联合分布律
        • （五）两个离散型随机变量的独立性

          • 若对任意 $i,j$ 有 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$，则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立
        • （六）两个离散型随机变量函数的分布

          • $Z=g(X,Y)$ 的分布律为 $P\{Z=z\}=P\{g(X,Y)=z\}=\sum\limits_{g(x_i,y_j)=z}P\{X=x_i,Y=y_j\}$
      • 六 二维连续型随机变量及其分布

        • （一）定义

          • 若存在非负可积函数 $f(x,y)$ 使 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,du\,dv$，则称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度
        • （二）概率密度函数的性质

          • 非负性：$f(x,y)\ge 0$
          • 规范性：$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1$
          • 区域内概率：$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$
          • 与分布函数关系：$\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\,\partial y}=f(x,y)$
        • （三）边缘密度函数

          • $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy$，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx$
        • （四）条件密度函数

          • $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件密度函数
          • $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 为在 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件密度函数
        • （五）两个连续型随机变量的独立性

          • 若对任意实数 $x,y$ 均有 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立
      • 七 两个常见的二维连续型分布

        • （一）二维均匀分布

          • 定义

            • 设区域 $G$ 的面积为 $|G|$，若 $f(x,y)=\dfrac{1}{|G|}$（$(x,y)\in G$），则称 $(X,Y)$ 服从区域 $G$ 上的二维均匀分布
          • 性质

            • 在矩形区域 $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,c\le y\le d\}$ 上服从二维均匀分布，则 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且分别服从一维均匀分布
        • （二）二维正态分布

          • 定义

            • $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，其中 $\sigma_1>0$，$\sigma_2>0$，$-1<\rho<1$
          • 性质

            • $X$ 和 $Y$ 分别服从一维正态分布，即 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$
            • $X$ 和 $Y$ 不相关（或 $\rho=0$）与 $X$ 和 $Y$ 相互独立等价
            • $X$ 与 $Y$ 的非零线性组合仍服从一维正态分布，即 $k_1X+k_2Y\sim N(\mu,\sigma^2)$
            • $X$ 与 $Y$ 的非零线性组合 $(X_1,Y_1)$ 仍服从二维正态分布
      • 八 两个连续型随机变量函数的分布

        • （一）分布函数法

          • $F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}=\iint\limits_{g(x,y)\le z}f(x,y)\,dx\,dy$，$f_Z(z)=F_Z'(z)$
        • （二）卷积公式

          • 和的卷积公式：$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx$，独立时为 $f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$
          • 一般线性组合：$Z=aX+bY$（$a\ne 0,b\ne 0$）的密度为 $f_Z(z)=\dfrac{1}{|b|}\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x,\dfrac{z-ax}{b}\right)dx$
          • 乘积（商）：$Z=XY$（或 $Z=\dfrac{X}{Y}$）的密度由 $F_Z$ 求导得到
        • （三）最大、最小分布

          • $M=\max\{X,Y\}$：$F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)$
          • $N=\min\{X,Y\}$：$F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
          • 可推广到 $n$ 个相互独立随机变量，同分布时 $F_M(z)=[F(z)]^n$，$F_N(z)=1-[1-F(z)]^n$
      • 九 一个离散型与一个连续型随机变量函数的分布

        • 设 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i$，$Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)$，则 $F_Z(z)=\sum\limits_i P\{X=x_i\}P\{g(x_i,Y)\le z\}$，用全概率公式计算
    • 【题型一 二维离散型随机变量及其分布】

      • 基础知识回顾

        • 二维随机变量的概念：称向量 $(X,Y)$ 为二维随机变量
        • 分布函数 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 及其性质（非负性、规范性、单调不减性、右连续性）
        • 边缘分布函数、独立性判定、二维离散型随机变量的定义与分布律、边缘分布律、条件分布律、函数分布
      • 考点及方法小结

        • 计算 $(X,Y)$ 的分布律：已知边缘分布律与条件分布律时相乘；应用问题按“定取值、算概率、验证 1”进行
        • 已知 $(X,Y)$ 的分布律：计算事件概率、$X$ 和 $Y$ 的边缘分布律、条件分布律
        • 判定独立性：$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$ 对任意 $i,j$ 成立则独立，否则不独立
        • 计算函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布：$P\{Z=z\}=\sum\limits_{g(x_i,y_j)=z}P\{X=x_i,Y=y_j\}$
      • 精选例题

        • 例3.1 X 在 1，2，3 中等可能取值，Y 在 1 与 X 之间等可能取整数值，求 $(X,Y)$ 分布、$Y$ 的分布、独立性及 $Z=XY$ 的分布
        • 例3.2 设 $X,Y$ 相互独立且均服从 $B\left(0,\dfrac12\right)$，求 $P\{X\le 2Y\}$
        • 例3.3 设 $X,Y$ 相互独立同分布，$P\{X=k\}=pq^{k-1}$（$k=1,2,\cdots$），求 $P\{X=Y\}$
        • 例3.4 已知 $X,Y$ 的概率分布，求 $(X,Y)$ 的联合分布及 $Z=XY$ 的分布
        • 例3.5 设 $A,B$ 为随机事件，$X,Y$ 为示性变量，求联合分布及 $Z=X^2+Y^2$ 的分布
        • 例3.6 有放回地从袋中取球两次，求联合分布及在 $X=1$ 条件下 $Y$ 的条件分布律
        • 例3.7 从箱中随机取出两个球，求联合分布及红球与白球个数相同的概率
        • 例3.8 射击进行到第二次击中目标为止，求 $(X,Y)$ 的分布律
    • 【题型二 二维连续型随机变量及其分布】

      • 基础知识回顾

        • 二维连续型随机变量的定义与联合概率密度
        • 概率密度函数的性质（非负性、规范性、区域内概率、与分布函数关系）
        • 边缘密度函数、条件密度函数、独立性判定
        • 两个常见的二维连续型分布：二维均匀分布与二维正态分布
      • 考点及方法小结

        • 由分布函数求概率密度：$f(x,y)=\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\,\partial y}$
        • 利用概率密度性质求常数、求区域上的概率
        • 由联合密度求边缘密度、条件密度，并判定独立性
        • 区域 $G$ 上二维均匀分布：$f(x,y)=\dfrac{1}{|G|}$（$(x,y)\in G$）
        • 二维正态分布性质：边缘正态、不相关与独立等价、线性组合仍正态
      • 精选例题

        • 例3.9 已知分布函数 $F(x,y)=A\left(B+\arctan\dfrac{x}{2}\right)\left(C+\arctan\dfrac{y}{3}\right)$，求系数、概率密度、边缘及独立性
        • 例3.10 已知含参数 $k$ 的联合密度，求 $k$、判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立、计算条件概率
        • 例3.11 三角形区域 $G$ 上服从二维均匀分布，求 $X$ 的概率密度与条件概率密度
        • 例3.12 已知联合概率密度，求常数 $A$ 及条件概率密度
        • 例3.13 已知条件概率密度，求联合概率密度、边缘密度及概率
        • 例3.14 设 $X\sim E(1)$，$Y\sim E(4)$ 且相互独立，求联合密度与 $P\{X<Y\}$
        • 例3.15 设 $X,Y$ 独立且均服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，求 $P\{X^2+Y^2\le 1\}$
        • 例3.16 设 $(X,Y)\sim N(1,0;1,1;0)$，求 $P\{XY-Y<0\}$
        • 例3.17 设 $(X,Y)\sim N\left(0,0;1,4;-\dfrac12\right)$，找出服从标准正态分布且与 $X$ 独立的随机变量
    • 【题型三 两个连续型随机变量函数的分布】

      • 基础知识回顾

        • 分布函数法：$F_Z(z)=\iint\limits_{g(x,y)\le z}f(x,y)\,dx\,dy$，求导得 $f_Z(z)$
        • 卷积公式：和的卷积、一般线性组合、乘积（商）的密度公式
        • 最大、最小分布：$F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z)$，$F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
      • 考点及方法小结

        • 讨论 $z$ 的范围：将区域顶点坐标代入 $z=g(x,y)$，并结合区域内 $g(x,y)$ 的最大、最小值分段
        • 独立正态分布的线性组合仍是正态分布，可先求期望与方差再写出密度
        • 解题常用分布函数法与卷积公式两种方法
      • 精选例题

        • 例3.18 设 $X,Y$ 相互独立且均服从 $N(\mu,\sigma^2)$，判断 $P\{|X-Y|\le\sigma\}$ 与参数的关系
        • 例3.19 设 $X,Y$ 相互独立且密度已知，求 $Z=2X+Y$ 的概率密度
        • 例3.20 已知联合密度，求 $P\{X>2\}$ 与 $Z=X+Y$ 的概率密度
        • 例3.21 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y$ 服从 $[-\pi,\pi]$ 上均匀分布且独立，求 $Z=X+Y$ 的密度（用 $\Phi(x)$ 表示）
        • 例3.22 已知联合密度，求参数 $A$ 与 $Z=XY$ 的概率密度
        • 例3.23 设 $(X,Y)$ 在正方形区域上服从均匀分布，求 $U=|X-Y|$ 的概率密度
        • 例3.24 求 $M=\max\{X,Y\}$ 与 $N=\min\{X,Y\}$ 的概率密度
        • 例3.25 三个独立元件寿命服从指数分布，求电路正常工作时间 $T=\min(X_1,X_2,X_3)$ 的分布
    • 【题型四 一个离散型与一个连续型随机变量函数的分布】

      • 基础知识回顾

        • 设 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i$，$Y$ 的概率密度为 $f_Y(y)$，求 $Z=g(X,Y)$ 的分布
        • 用分布函数法：将离散型随机变量的所有可能取值当成完全事件组，用全概率公式求 $P\{g(X,Y)\le z\}$
      • 考点及方法小结

        • 讨论 $z$ 的范围：将离散型随机变量取值点与连续型随机变量密度分段点组合，代入 $z=g(x,y)$ 后分段
      • 精选例题

        • 例3.26 设 $X$ 服从二项分布、$Y$ 密度已知且相互独立，求 $P\{X+Y\le\cdots\}$ 的值
        • 例3.27 求 $Z=X+Y$ 的分布函数与概率密度
        • 例3.28 设 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，写出概率密度、判断独立性、求 $Z=U+X$ 的分布函数
        • 例3.29 设 $X\sim U(0,2)$，$Y=[X]+X$（$[\ \cdot\ ]$ 为取整函数），求 $Y$ 的概率密度
  • 第四章 数字特征

    • 一、离散型随机变量的数学期望

      • （一）定义

        • 设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i$，$i=1,2,\cdots$
        • 若级数 $\sum_{i} x_i p_i$ 绝对收敛，则称其为 $X$ 的数学期望，记作 $E(X)=\sum_{i} x_i p_i$
        • 若级数发散，则 $X$ 的数学期望不存在
        • 期望也叫均值，本质是取值乘以其概率后的加权平均值
      • （二）离散型随机变量函数（含二维）的数学期望

        • 设 $Y=g(X)$，$g(x)$ 为连续实函数；若 $\sum_{i} g(x_i)p_i$ 绝对收敛，则 $E(Y)=E[g(X)]=\sum_{i} g(x_i)p_i$
        • 设 $Z=g(X,Y)$，分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$；若 $\sum_{i}\sum_{j} g(x_i,y_j)p_{ij}$ 绝对收敛，则 $E(Z)=\sum_{i}\sum_{j} g(x_i,y_j)p_{ij}$
        • 离散型可先求随机变量函数的分布，再计算其期望
    • 二、连续型随机变量的数学期望

      • （一）定义

        • 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$
        • 若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}x$ 绝对收敛，则 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}x$
        • 若积分不绝对收敛，则 $X$ 的数学期望不存在
      • （二）连续型随机变量函数（含二维）的数学期望

        • 设 $Y=g(X)$；若 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,\mathrm{d}x$ 绝对收敛，则 $E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,\mathrm{d}x$
        • 设 $Z=g(X,Y)$，联合概率密度为 $f(x,y)$；若积分绝对收敛，则 $E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$
        • 求连续型随机变量函数的期望时直接代公式，不必先求 $Y$ 的分布
    • 三、随机变量数学期望的性质

      • $E(C)=C$，其中 $C$ 为常数
      • $E(CX)=CE(X)$，其中 $C$ 为常数
      • $E(k_1X\pm k_2Y)=k_1E(X)\pm k_2E(Y)$
      • $X$ 与 $Y$ 相互独立时 $E(XY)=E(X)E(Y)$
      • 计算期望时先考虑用性质化简，不能化简再用公式计算
      • $E(XY)=E(X)E(Y)$ 是 $X,Y$ 相互独立的必要而非充分条件；若 $E(XY)\neq E(X)E(Y)$，则 $X,Y$ 一定不独立
    • 四、随机变量的方差

      • （一）方差的定义

        • 若 $E\{[X-E(X)]^2\}$ 存在，则称之为 $X$ 的方差，记作 $D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}$
        • 称 $\sqrt{D(X)}$ 为标准差或均方差
      • （二）方差的计算公式

        • 离散型：$D(X)=\sum_{i}[x_i-E(X)]^2 p_i$
        • 连续型：$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x)\,\mathrm{d}x$
        • $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
        • 已知 $E(X),D(X)$ 求 $E(X^2)$：$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$
      • （三）方差的性质

        • $D(C)=0$，其中 $C$ 为常数
        • $D(CX)=C^2D(X)$，其中 $C$ 为常数
        • $D(X+C)=D(X)$，其中 $C$ 为常数
        • $X$ 与 $Y$ 相互独立时 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
        • 有限个相互独立随机变量和（差）的方差等于方差的和
      • 常见分布的期望与方差

        • 二项分布 $X\sim B(n,p)$：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$
        • 0-1分布 $X\sim B(1,p)$：$E(X)=p$，$D(X)=p(1-p)$
        • 泊松分布 $X\sim P(\lambda)$：$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$
        • 几何分布 $X\sim G(p)$：$E(X)=\frac{1}{p}$，$D(X)=\frac{1-p}{p^2}$
        • 均匀分布 $X\sim U(a,b)$：$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
        • 指数分布 $X\sim E(\lambda)$：$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$
        • 正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$：$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$
    • 五、随机变量的矩

      • $k$ 阶原点矩：若 $E(X^k)$（$k=1,2,\cdots$）存在，则称 $E(X^k)$ 为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩，$E(X)$ 即一阶原点矩
      • $k$ 阶中心矩：若 $E\{[X-E(X)]^k\}$（$k=2,3,\cdots$）存在，则称其为 $X$ 的 $k$ 阶中心矩，$D(X)$ 即二阶中心矩
      • $k+l$ 阶混合中心矩：若 $E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}$（$k,l=1,2,\cdots$）存在，则称其为 $X$ 与 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合中心矩
    • 六、协方差

      • （一）协方差的定义

        • 若 $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 存在，则称其为 $X$ 与 $Y$ 的协方差
        • $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
      • （二）协方差的计算公式

        • $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
      • （三）协方差的性质

        • $\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$
        • $\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)$
        • $\mathrm{Cov}(C,X)=0$，其中 $C$ 为常数
        • $\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$，其中 $a,b$ 为常数
        • $\mathrm{Cov}(k_1X_1\pm k_2X_2,Y)=k_1\mathrm{Cov}(X_1,Y)\pm k_2\mathrm{Cov}(X_2,Y)$
        • $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
        • $X$ 与 $Y$ 相互独立时 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$
    • 七、相关系数

      • （一）相关系数的定义

        • 设 $D(X)\neq 0$、$D(Y)\neq 0$，则称 $\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数
        • 已知 $\rho_{XY}$ 求协方差：$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
      • （二）相关系数的性质

        • $|\rho_{XY}|\leq 1$
        • $|\rho_{XY}|=1$ 的充要条件是存在常数 $a,b$（$a\neq 0$），使 $P\{Y=aX+b\}=1$
        • $a>0$ 时 $\rho_{XY}=1$；$a<0$ 时 $\rho_{XY}=-1$
        • $\rho_{XY}$ 描述 $X$ 与 $Y$ 线性关系的紧密程度
      • （三）随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关

        • 定义

          • 当 $\rho_{XY}=0$ 时，称 $X$ 和 $Y$ 不相关
        • 不相关的等价说法

          • $\rho_{XY}=0\Leftrightarrow \mathrm{Cov}(X,Y)=0$
          • $\Leftrightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$
          • $\Leftrightarrow D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
        • 与相互独立的关系

          • 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不相关不一定相互独立
          • 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则 $X$ 与 $Y$ 不相关与相互独立等价
    • 题型一 计算随机变量的期望与方差

      • 基础知识回顾

        • 离散型与连续型期望公式，以及随机变量函数的期望公式
        • 期望性质：$E(C)=C$、$E(CX)=CE(X)$、$E(k_1X\pm k_2Y)=k_1E(X)\pm k_2E(Y)$、独立时 $E(XY)=E(X)E(Y)$
        • 方差：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$、$D(CX)=C^2D(X)$、$D(X+C)=D(X)$、独立时 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
        • 常见分布 $B(n,p)$、$P(\lambda)$、$G(p)$、$U(a,b)$、$E(\lambda)$、$N(\mu,\sigma^2)$ 的期望与方差
      • 考点及方法小结

        • 已知 $E(X),D(X)$ 求 $E(X^2)$：$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$
        • 利用指数分布与正态分布的结论计算复杂积分
        • 将积分凑成常见分布的密度函数求值
        • $X,Y$ 相互独立时 $E(XY)=E(X)E(Y)$、$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$，反之不一定
      • 精选例题

        • 由常见分布的数字特征反求参数（例4.1、4.2、4.4、4.5）
        • 常见分布与随机变量函数期望的积分计算（例4.6、4.7、4.8）
        • 分布函数为两分布函数线性组合时求期望（例4.9、4.17）
        • 独立性与 $D(XY)$、正态线性组合（例4.10、4.11、4.12、4.18）
        • $F(X)\sim U(0,1)$ 及随机变量函数的期望（例4.14、4.15、4.16）
        • 离散型随机变量的数字特征（例4.3、4.19、4.20）
        • 最值分布与实际应用优化（例4.13、4.21、4.22、4.23、4.24）
    • 题型二 计算协方差与相关系数

      • 基础知识回顾

        • $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=E(XY)-E(X)E(Y)$
        • 协方差性质：$\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)$、$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
        • $\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，$|\rho_{XY}|\leq 1$
        • 当 $\rho_{XY}=0$ 时，$X$ 与 $Y$ 不相关
      • 考点及方法小结

        • 求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ 的三种方法：$E(XY)-E(X)E(Y)$、$\frac{D(X+Y)-D(X)-D(Y)}{2}$、$\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
        • $X,Y$ 相互独立时 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$、$\rho_{XY}=0$，反之不一定
        • $X,Y$ 为线性关系 $Y=aX+b$（$a\neq 0$）时 $|\rho_{XY}|=1$，$a>0$ 取 $1$，$a<0$ 取 $-1$
        • 先算协方差再算标准差；协方差为 $0$ 时相关系数为 $0$
      • 精选例题

        • 协方差的计算与独立同分布（例4.25、4.32）
        • 由相关系数反求线性关系（例4.26、4.27、4.28、4.29）
        • 联合分布与相关系数（例4.30、4.31）
        • 不相关与不独立的辨析（例4.33、4.34）
        • 二维正态与二维均匀的综合（例4.35、4.36）
  • 第五章 大数定律和中心极限定理

    • 大纲要求

      • 了解切比雪夫不等式
      • 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）
      • 了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）
    • 本章重点

      • 切比雪夫不等式
      • 大数定律的条件与结论
      • 中心极限定理的条件与结论
    • 基础知识

      • 一、切比雪夫不等式

        • 设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X)=\mu$、方差 $D(X)=\sigma^2$，则对任意 $\varepsilon>0$，有 $P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}\le\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$ 或 $P\{|X-E(X)|<\varepsilon\}\ge 1-\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$
        • 本质是在分布未知而 $E(X)$、$D(X)$ 已知时，估计概率 $P\{|X-E(X)|<\varepsilon\}$ 或 $P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}$ 的范围；两种形式只需熟记其一，另一种由逆事件推得
      • 二、依概率收敛

        • 设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 为随机变量序列，$a$ 为常数，若对任意给定的正数 $\varepsilon$ 有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\{|X_n-a|<\varepsilon\}=1$，则称序列依概率收敛于 $a$，记为 $X_n\xrightarrow{P}a$
        • 与数列收敛类似：$n$ 充分大时 $X_n$ 与 $a$ 的距离任意小的概率为 $1$
        • 逆事件形式：$\lim\limits_{n\to\infty}P\{|X_n-a|\ge\varepsilon\}=0$
      • 三、大数定律

        • （一）切比雪夫大数定律（一般情形）

          • 条件：$X_1,X_2,\cdots$ 两两不相关（或两两独立），且方差有公共上界，即存在正数 $M$ 使 $D(X_i)\le M$，$i=1,2,\cdots$
          • 结论：对任意给定的正数 $\varepsilon$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left|\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n E(X_i)\right|<\varepsilon\right\}=1$
        • （二）独立同分布的切比雪夫大数定律

          • 条件：$X_1,X_2,\cdots$ 相互独立、服从相同分布，具有数学期望 $E(X_i)=\mu$ 和方差 $D(X_i)=\sigma^2$，$i=1,2,\cdots$
          • 结论：对任意给定的正数 $\varepsilon$，$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i\xrightarrow{P}\mu$
        • （三）辛钦大数定律

          • 条件：$X_1,X_2,\cdots$ 相互独立、服从相同分布，具有数学期望 $E(X_i)=\mu$，$i=1,2,\cdots$
          • 结论：对任意给定的正数 $\varepsilon$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left|\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i-\mu\right|<\varepsilon\right\}=1$
        • （四）伯努利大数定律

          • 条件：每次试验中事件 $A$ 发生的概率 $P(A)=p$，$n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的频率为 $\dfrac{n_A}{n}$
          • 结论：对任意正数 $\varepsilon$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left|\dfrac{n_A}{n}-p\right|<\varepsilon\right\}=1$
        • 本质：在一定条件下（随机变量序列相互独立、同分布、期望存在），若干随机变量的均值 $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛到均值的期望
      • 四、中心极限定理

        • （一）列维-林德伯格中心极限定理

          • 条件：$X_1,X_2,\cdots$ 相互独立、服从相同分布，具有数学期望 $E(X_i)=\mu$ 和方差 $D(X_i)=\sigma^2$，$i=1,2,\cdots$
          • 结论：对任意实数 $x$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\le x\right\}=\Phi(x)$
        • （二）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

          • 条件：$X_n\sim B(n,p)$，$0<p<1$，$n=1,2,\cdots$
          • 结论：对任意实数 $x$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right\}=\Phi(x)$
        • 本质与考法

          • 列维-林德伯格定理：足够多相互独立同分布且期望、方差存在的随机变量之和近似服从正态分布，标准化后按标准正态分布处理
          • 棣莫弗-拉普拉斯定理是列维-林德伯格定理的特殊情形：$B(n,p)$ 可视为 $n$ 个独立同分布 $0$-$1$ 变量之和，$n$ 充分大时二项分布近似正态分布
          • 考查方向①考条件（相互独立、同分布、期望与方差均存在）；②考结论（足够多随机变量之和近似服从正态分布）
    • 题型一 切比雪夫不等式

      • 基础知识回顾

        • 设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X)$、方差 $D(X)$，则对任意 $\varepsilon>0$ 有 $P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}\le\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$ 或 $P\{|X-E(X)|<\varepsilon\}\ge 1-\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$
      • 精选例题

        • 例5.1

          • 题：随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望分别为 $-2$ 和 $2$，方差分别为 $1$ 和 $4$，相关系数 $\rho_{XY}=-0.5$，用切比雪夫不等式估计 $P\{|X+Y|<6\}$
          • 解：$E(X+Y)=0$，$D(X+Y)=1+4+2\times(-0.5)\times1\times2=3$，故 $P\{|X+Y|<6\}\ge 1-\dfrac{3}{36}=\dfrac{11}{12}$
        • 例5.2

          • 题：$X_i\sim B(i,0.2)$，$i=1,2,\cdots,10$，且相互独立，用切比雪夫不等式估计
          • 解：$E(X_i)=0.2i$，$D(X_i)=0.16i$，由独立性求和后代入切比雪夫不等式
        • 例5.3

          • 题：$X_1,X_2,X_3$ 独立同分布，$4$ 阶矩存在，$\mu_k=E(X_i^k)$，$k=1,2,3,4$，由切比雪夫不等式估计
          • 解：利用 $4$ 阶矩计算相应方差，代入切比雪夫不等式
    • 题型二 大数定律

      • 基础知识回顾

        • 依概率收敛：若对任意正数 $\varepsilon$ 有 $\lim\limits_{n\to\infty}P\{|X_n-a|<\varepsilon\}=1$，则 $X_n\xrightarrow{P}a$
        • 大数定律：切比雪夫大数定律（两两不相关或独立、方差有公共上界）、独立同分布的切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律，均给出均值（或频率）依概率收敛于其期望（或概率）
        • 考法：①考条件（相互独立、服从相同分布、$E(X_i)$ 存在）；②考结论（均值 $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛到均值的期望）
      • 精选例题

        • 例5.4

          • 题：将一个骰子独立重复掷 $n$ 次，各次点数依次为 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，则当 $n\to\infty$ 时 $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于
          • 解：$X_i$ 相互独立同分布，由辛钦大数定律收敛于 $E(X)=3.5$
    • 题型三 中心极限定理

      • 基础知识回顾

        • 列维-林德伯格中心极限定理：$X_1,X_2,\cdots$ 相互独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\le x\right\}=\Phi(x)$
        • 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：$X_n\sim B(n,p)$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right\}=\Phi(x)$
        • 考法：①考条件（相互独立、同分布、$E(X_i)$ 与 $D(X_i)$ 均存在）；②考结论（足够多随机变量之和近似服从正态分布，标准化后按标准正态分布解决）
      • 精选例题

        • 例5.6

          • 题：$X_1,X_2,\cdots$ 是总体 $X$ 的简单随机样本，$E(X)=5$，$D(X)=25$，$\bar X=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i$，要使 $P\{\bar X\le 6\}\ge 0.95$（已知 $\Phi(1.64)=0.95$），用中心极限定理求最小样本容量 $n$
          • 解：$P\left\{\sum\limits_{i=1}^n X_i\le 6n\right\}=P\left\{\dfrac{\sum X_i-5n}{5\sqrt{n}}\le\dfrac{n}{5\sqrt{n}}\right\}=\Phi\left(\dfrac{\sqrt{n}}{5}\right)\ge 0.95$，即 $\dfrac{\sqrt{n}}{5}\ge 1.64$，解得 $n\ge 67.24$，故 $n$ 至少为 $68$
        • 例5.7

          • 题：$X\sim\chi^2(200)$，用中心极限定理求 $P\{X\le 240\}$ 的近似值（结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示）
          • 解：$E(X)=200$，$D(X)=400$，$X$ 近似服从 $N(200,400)$，故 $P\{X\le 240\}\approx\Phi\left(\dfrac{240-200}{20}\right)=\Phi(2)$
        • 例5.8

          • 题：索赔户中被盗户占 $20\%$，$X$ 为抽查 $100$ 个索赔户中因被盗索赔的户数：①写出 $X$ 的概率分布；②用棣莫弗-拉普拉斯定理求 $P\{14\le X\le 30\}$ 的近似值
          • 解：$X\sim B(100,0.2)$，$P\{X=k\}=C_{100}^k0.2^k0.8^{100-k}$；$E(X)=20$，$D(X)=16$，$X$ 近似服从 $N(20,16)$，故 $P\{14\le X\le 30\}\approx\Phi(2.5)-\Phi(-1.5)=\Phi(2.5)-[1-\Phi(1.5)]=0.927$
  • 第六章 数理统计的基本概念

    • 大纲要求

      • 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念
      • 了解 $\chi^2$ 分布、$t$ 分布和 $F$ 分布的概念及性质，了解上侧 $\alpha$ 分位数的概念并会查表计算，了解正态总体的常用抽样分布
    • 本章重点

      • 样本均值、样本方差的形式及其数字特征
      • $\chi^2$ 分布、$t$ 分布和 $F$ 分布的构成模式
      • 正态总体的抽样分布
    • 基础知识

      • 一、总体与样本

        • （一）总体

          • 在数理统计中研究对象的某项数量指标 $X$ 取值的全体称为总体，$X$ 是随机变量，其分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征
        • （二）个体

          • 总体中的每个元素称为个体
        • （三）总体容量

          • 总体中个体的数量称为总体的容量，容量有限称有限总体，容量无限称无限总体
        • （四）简单随机样本

          • 与总体 $X$ 同分布且 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，则称为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$n$ 为样本容量，观测值 $x_1,\cdots,x_n$ 为样本值；两层理解：①相互独立且同分布；②抽取 $n$ 个样本相当于对总体做 $n$ 次独立重复观测，可结合二项分布
      • 二、样本的联合分布

        • （一）联合分布函数

          • 设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则 $F(x_1,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^n F(x_i)$
        • （二）联合概率密度

          • 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则 $f(x_1,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^n f(x_i)$
      • 三、统计量

        • （一）定义

          • 设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 是不含未知参数的 $n$ 元函数，则称随机变量 $T=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为统计量
        • （二）样本均值

          • $\bar X=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n X_i$ 称为样本均值，其观测值为 $\bar x=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n x_i$
        • （三）样本方差

          • $S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$ 称为样本方差
          • $E(S^2)=D(X)=\sigma^2$；计算 $E\left[\sum(X_i-\bar X)^2\right]$ 时凑成样本方差，用 $(n-1)E(S^2)=(n-1)\sigma^2$
        • （四）样本的 $k$ 阶原点矩与中心矩

          • $A_k=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n X_i^k$ 称为样本的 $k$ 阶原点矩，若 $E(X^k)=\mu_k$ 存在，则 $A_k\xrightarrow{P}\mu_k$，是矩估计的理论依据
          • $B_k=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^k$ 称为样本的 $k$ 阶中心矩
        • （五）顺序统计量

          • $X_{(1)}=\min(X_1,\cdots,X_n)$、$X_{(n)}=\max(X_1,\cdots,X_n)$ 分别称为最小、最大顺序统计量；若总体分布函数为 $F(x)$，则 $F_{X_{(n)}}(x)=[F(x)]^n$，$F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F(x)]^n$，据此可求其期望与方差
      • 四、三大分布

        • （一）$\chi^2$ 分布

          • 典型模式

            • $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，则 $\sum\limits_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n)$；特别地 $X\sim N(0,1)$ 时 $X^2\sim\chi^2(1)$
          • 性质

            • 构成 $\chi^2$ 分布需独立标准正态分布平方相加，自由度为标准正态个数；缺少独立条件时得不到 $\chi^2$ 分布
          • 上 $\alpha$ 分位点

            • 对任给 $\alpha(0<\alpha<1)$，$\chi^2_\alpha(n)$ 满足 $P\{\chi^2>\chi^2_\alpha(n)\}=\alpha$
          • 数字特征

            • 若 $\chi^2\sim\chi^2(n)$，则 $E(\chi^2)=n$，$D(\chi^2)=2n$
        • （二）$t$ 分布

          • 典型模式

            • $X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$ 且相互独立，则 $t=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$（学生氏 $t$ 分布）
          • 性质

            • 自由度由 $\chi^2$ 分布自由度确定，$X$ 与 $Y$ 不独立则无法确定 $\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 的分布；$n$ 充分大时 $t(n)$ 近似 $N(0,1)$ 分布
          • 上 $\alpha$ 分位点

            • 对任给 $\alpha(0<\alpha<1)$，$t_\alpha(n)$ 满足 $P\{t>t_\alpha(n)\}=\alpha$；因密度为偶函数，$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$
        • （三）$F$ 分布

          • 典型模式

            • $X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$ 且相互独立，则 $F=\dfrac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n)$
          • 性质与关系

            • 若 $F\sim F(m,n)$，则 $\dfrac1F\sim F(n,m)$；若 $T\sim t(n)$，则 $T^2\sim F(1,n)$；构成 $F$ 分布需两个独立 $\chi^2$ 分布分别除以自身自由度相比
          • 上 $\alpha$ 分位点

            • 对任给 $\alpha(0<\alpha<1)$，$F_\alpha(m,n)$ 满足 $P\{F>F_\alpha(m,n)\}=\alpha$，且有 $F_{1-\alpha}(m,n)=\dfrac{1}{F_\alpha(n,m)}$
      • 五、正态总体抽样分布

        • （一）一个正态总体的抽样分布

          • 设 $X_1,\cdots,X_n$ 来自正态总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\bar X$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差
          • $\bar X\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，$U=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$；$\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立，且 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
          • $T=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$；由 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ 得 $D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}$
        • （二）两个正态总体的抽样分布

          • 设 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 相互独立，$\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$ 为相应样本均值与样本方差，则 $\dfrac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}\sim N(0,1)$
          • 当 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 时 $\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n_1+n_2-2)$，$T=\dfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$；又 $F=\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$
    • 题型一 计算统计量数字特征

      • 基础知识回顾

        • 熟记 $E(S^2)=D(X)=\sigma^2$；计算 $E\left[\sum(X_i-\bar X)^2\right]$ 时凑成样本方差用 $(n-1)\sigma^2$
        • 从一个正态总体抽样时，$\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立，据此化简统计量
        • 遇正态分布平方求方差，用 $D[\chi^2(n)]=2n$；计数型统计量常结合二项分布
      • 精选例题

        • 例6.1

          • 设总体 $X\sim P(\lambda)$，$X_1,\cdots,X_n$ 为简单随机样本，比较相应统计量的期望与方差，由 $E(X)=D(X)=\lambda$ 计算，选（D）
        • 例6.2

          • 设 $X\sim B(m,\theta)$，求 $E\left[\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right]$：由 $D(X)=m\theta(1-\theta)$ 得 $(n-1)m\theta(1-\theta)$，选（B）
        • 例6.3

          • 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\dfrac12 e^{-|x|}$，求 $E(S^2)$：$E(S^2)=D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2$
        • 例6.8

          • 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\bar X,S^2$ 为样本均值与样本方差，求含 $\bar X^2$ 与 $S^2$ 的统计量 $T$ 的方差：由 $\bar X$ 与 $S^2$ 独立，$D(T)=\{D(\bar X)+[E(\bar X)]^2\}\{D(S^2)+[E(S^2)]^2\}-[E(\bar X)]^2[E(S^2)]^2$
        • 例6.9~6.10

          • 例6.9：$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,\cdots,X_{2n}$ 为样本，$\bar X=\dfrac{1}{2n}\sum\limits_{i=1}^{2n}X_i$，求 $Y=\sum\limits_{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\bar X)^2$ 的期望，得 $E(Y)=2(n-1)\sigma^2$；例6.10：求 $E(T)$，当 $\mu=0,\sigma=1$ 时求 $D(T)$，用 $D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}$ 及独立性
        • 例6.11

          • 设总体 $X$ 的概率密度 $f(x,\theta)$（$\theta>0$ 未知），$T=\max(X_1,X_2,X_3)$：由 $F(x)$ 求 $T$ 的概率密度，再由 $E(aT)=\theta$ 确定 $a$
        • 例6.12

          • 设总体概率分布含参数 $\theta\in(0,1)$，$N_i$ 为样本中等于 $i$ 的个数（$i=1,2,3$），$N_i\sim B(n,p_i)$，$T=\sum a_iN_i$：由 $E(T)=\theta$ 及 $N_1+N_2+N_3=n$ 求 $a_i$，再用二项分布求 $D(T)$
    • 题型二 三大分布

      • 基础知识回顾

        • 构成 $\chi^2$ 分布需独立标准正态平方相加，自由度为正态个数，缺独立条件得不到 $\chi^2$ 分布
        • 构成 $t$ 分布需一个标准正态与一个独立 $\chi^2$ 分布除以自身自由度开方之比
        • 构成 $F$ 分布需两个独立 $\chi^2$ 分布分别除以自身自由度相比，缺独立条件得不到 $F$ 分布
      • 精选例题

        • 例6.13

          • 设 $X_1,\cdots,X_n$（$n\ge2$）来自 $N(\mu,1)$，$\bar X=\dfrac1n\sum X_i$，用三大分布构成模式逐项判断结论，不正确的是（B）
        • 例6.14

          • 设 $X_1,\cdots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，$\bar X,S^2$ 为样本均值与样本方差，构造自由度 $n$ 的 $\chi^2$ 变量：$\dfrac{(\bar X-\mu)^2}{\sigma^2/n}\sim\chi^2(1)$ 与 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ 相加，选（D）
        • 例6.15

          • 设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 来自 $N(1,\sigma^2)$，$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3+X_4-2}}$ 的分布：$\dfrac{(X_1-X_2)^2}{2\sigma^2}\sim\chi^2(1)$，选（B）
        • 例6.16

          • 设 $X_1,\cdots,X_n$（$n\ge2$）来自 $N(0,\sigma^2)$，$\dfrac{n\bar X^2}{S^2}\sim F(1,n-1)$，参数为 $1,n-1$
        • 例6.17

          • 设 $X,Y$ 独立且均服从 $N(0,\sigma^2)$，$X_1,\cdots,X_n$ 与 $Y_1,\cdots,Y_m$ 为样本，统计量服从 $t(m)$ 分布，由 $t$ 分布模式令 $\sqrt{m/n}=2$，选（D）
        • 例6.18

          • 设 $X\sim N(0,\sigma^2)$，$X_1,\cdots,X_{10}$ 为样本，$Y=4\dfrac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+\cdots+X_{10}^2}$ 服从 $F$ 分布，由 $\dfrac{i}{10-i}=4$ 解得 $i=2$，选（D）
        • 例6.19

          • 设 $X\sim t(n)$，$Y\sim F(1,n)$，$P\{X>c\}=\alpha$（$0<\alpha<0.5$），因 $X^2\sim F(1,n)$，$P\{Y>c^2\}=P\{|X|>c\}=2\alpha$，选（C）
        • 例6.20

          • 设 $X_1,\cdots,X_n$ 来自 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，应用一个正态总体抽样分布逐项判断，注意 $\bar X$ 与 $S^2$ 独立性的前提，选出正确选项
        • 例6.21

          • 设 $X\sim N(\mu_1,\sigma^2)$ 与 $Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)$ 独立，$\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$ 相互独立，$\dfrac{4n(\bar X-\bar Y)^2}{S_1^2+S_2^2}\sim\chi^2(2n-2)$，逐项判断选项
  • 第七章 参数估计与假设检验

    • 点估计的概念

      • 设总体 $X$ 的分布函数 $F(x;\theta)$ 形式已知，$\theta$ 为待估参数
      • 构造统计量 $\hat\theta(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 用以估计 $\theta$，称 $\hat\theta$ 为估计量
      • 代入样本观测值得 $\hat\theta(x_1,x_2,\dots,x_n)$，称为 $\theta$ 的估计值
    • 矩估计法

      • 思想：K.Pearson 替换原则，用样本矩替换总体矩
      • 样本 $k$ 阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ 依概率收敛于总体 $k$ 阶原点矩 $E(X^k)$
      • 令 $A_k=E(X^k)$，$k=1,2,\dots$，从中解出未知参数
      • 一个未知参数：令 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i=E(X)$
      • 一阶矩不含参数时改用二阶矩：令 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2=E(X^2)$
      • 两个未知参数：建立方程组求解
      • 从一阶矩开始建立方程
    • 最大似然估计法

      • 离散型总体

        • 概率分布 $P(X=x_i)=p(x_i;\theta)$
        • 似然函数 $L(\theta)=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)$
        • 取 $\hat\theta$ 使 $L(\theta)$ 达到最大
      • 连续型总体

        • 概率密度 $f(x;\theta)$
        • 似然函数 $L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$
      • 解题步骤

        • 写出似然函数 $L(\theta)$
        • 取对数 $\ln L(\theta)$
        • 对 $\theta$ 求导得 $\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}$
        • 令 $\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0$ 求解
        • 若唯一解即为最大似然估计；若多个解按题干条件取舍；若无解则常在端点取得
    • 估计量的评选标准

      • 无偏性：对任意 $\theta\in\Theta$，有 $E(\hat\theta)=\theta$
      • 有效性：$\hat\theta_1,\hat\theta_2$ 均为无偏估计，若 $D(\hat\theta_1)\le D(\hat\theta_2)$ 则 $\hat\theta_1$ 更有效
      • 一致性（相合性）：当 $n\to\infty$ 时 $\hat\theta$ 依概率收敛于 $\theta$
      • 矩估计量一定是相合估计量
    • 置信区间

      • 定义：对给定 $\alpha\in(0,1)$，若 $P(\hat\theta_1<\theta<\hat\theta_2)=1-\alpha$，称 $ (\hat\theta_1,\hat\theta_2)$ 为置信水平 $1-\alpha$ 的置信区间
      • 一个正态总体均值 $\mu$ 的区间估计
      • 一个正态总体方差 $\sigma^2$ 的区间估计

        • $\mu$ 已知时构造 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$
        • $\mu$ 未知时构造 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
      • 两个正态总体均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的区间估计

        • $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 已知
        • $\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 未知但相等时用 $S_w=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$
      • 两个正态总体方差比 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的区间估计（用 $F$ 分布）
      • 区间估计核心是构造统计量
      • 一个正态总体中 $\mu$ 的置信区间关于样本均值 $\bar X$ 对称
    • 假设检验

      • 原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$
      • 原理：实际推断原理，小概率事件在一次试验中几乎不发生
      • 两类错误

        • 第一类错误（弃真）：$P(\text{拒绝}H_0\mid H_0\text{为真})=\alpha$
        • 第二类错误（纳伪）：$P(\text{接受}H_0\mid H_0\text{为假})=\beta$
      • 显著性检验：控制犯第一类错误的概率不大于 $\alpha$，$\alpha$ 称为显著性水平
      • 显著性水平常取 $\alpha=0.1,0.05,0.01,0.001$
      • 检验统计量与拒绝域
      • 显著性检验的一般步骤

        • 提出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$
        • 给出显著性水平 $\alpha$ 及样本容量 $n$
        • 确定检验统计量及拒绝域形式
        • 按犯第一类错误概率等于 $\alpha$ 求出拒绝域
        • 由样本值计算统计量观测值，落入拒绝域则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$
      • 正态总体参数的假设检验

        • 单个正态总体均值检验：$\sigma^2$ 已知用 $U$ 检验，$\sigma^2$ 未知用 $t$ 检验
        • 单个正态总体方差检验：用 $\chi^2$ 检验
        • 两个正态总体均值与方差的假设检验
    • 题型一 矩估计与最大似然估计

      • 考点及方法小结

        • 矩估计从一阶矩开始建立方程，一个参数建立一个方程，两个参数建立方程组
        • 最大似然估计的核心是构造似然函数
        • 离散型总体的似然函数是取到样本值的概率，即每个样本点概率之积
        • 连续型总体的似然函数是样本的联合密度函数，即每个边缘密度函数之积
      • 精选例题

        • 离散型分布求最大似然估计值
        • 含参数密度求矩估计量与最大似然估计量
        • 端点型最大似然估计（似然单调时取 $\min$ 或 $\max$）
        • 正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的最大似然估计量
        • 由独立指数分布最小值 $Z=\min(X,Y)$ 求最大似然估计量
        • 含已知参数与未知参数的指数族密度求最大似然估计
    • 题型二 估计量的评选标准

      • 无偏性的验证：计算 $E(\hat\theta)$ 并与 $\theta$ 比较
      • 有效性的比较：比较无偏估计量的方差
      • 一致性：可由矩估计的相合性判断
      • 精选例题

        • 由 $E(\bar X+kS^2)=np^2$ 求 $k$
        • 判断 $\frac{1}{2}\bar X$ 是否为 $\theta$ 的无偏估计量
        • 由 $c(X_1+X_2)$ 的无偏性确定常数 $c$
    • 题型三 区间估计

      • 考点及方法小结

        • 一个正态总体中 $\mu$ 的置信区间关于样本均值 $\bar X$ 对称
        • 已知置信上、下限与样本均值中任意两个可求第三个
        • 估计 $\mu$ 时：$\sigma$ 已知构造 $U=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$，$\sigma$ 未知构造 $t=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$
      • 精选例题

        • 已知样本均值与置信上限求置信区间
        • 由正态总体样本求 $\mu$ 的置信区间
        • 置信区间长度 $L$ 与置信度 $1-\alpha$ 的关系
    • 题型四 假设检验

      • 考点及方法小结

        • 先提出 $H_0$ 与 $H_1$，再选检验统计量并确定拒绝域
        • 正态总体均值检验：$\sigma$ 已知用 $U$ 检验，$\sigma$ 未知用 $t$ 检验
        • 正态总体方差检验：用 $\chi^2$ 检验
        • 两类错误的计算：弃真概率控制为 $\alpha$，纳伪需计算接受域上的概率
      • 精选例题

        • 检验水平 $\alpha$ 变化时接受或拒绝 $H_0$ 的变化
        • 方差未知时单个正态总体均值的 $t$ 检验
        • 求检验统计量 $t=\sqrt{n(n-1)}\frac{\bar X}{\sqrt{\sum(X_i-\bar X)^2}}$
        • 由拒绝域 $W=\{\bar X\ge 11\}$ 计算第二类错误概率